帶絕對值函式f(x)≥－x＋a在x∈R上恆成立求a的範圍？化成分段函式

原題

原題：已知函式f(x)=|2x－2|－|x＋2|，當x∈R時，f(x)≥－x＋a恆成立，求實數a的取值範圍？

那這道題該如何解決呢？

首先去絕對值變成分段函式

去絕對值的原則就是要保證帶絕對值的數值都是正數值。

當x≤－2時，f(x)=－x＋4；

當－2＜x＜1時，f(x)=－3x；

當x≥1時，f(x)=x－4.

所以上述帶絕對值的函式就變成了分段函式，將問題就轉化成這個分段函式大於等於直線y=－x＋a恆成立的問題。

因為對於任意的x都滿足f(x)≥－x＋a這個不等式，所以只要當直線y=－x＋a平移過程中小於等於該分段函式的最小值就可。

畫出分段函式影象找到其最小值

對於分段函式在斜率為－1的直線方向上求該分段函式的最小值，可以藉助影象來解答。

如圖二，當直線=－x＋a向右平移到點(1,－3)時，開始與分段函式有交點，所以要想保證在任意x值時都小於等於分段函式，則當x=1時的值小於等於－3，即－1+a≤－3，解得出a≤－2。

具體做法

第一步，去掉絕對值變成分段函式。

第二步，做出分段函式的影象。

第三步，將不等式看成是分段函式和直線方程，移動方程找到臨界值。

第四步，求出結果。

具體做法如圖：

如果不透過影象解決該題，也可以透過分佈討論的方法求出每一步的a的取值範圍，最後取交集，從而得出a的取值範圍。

具體解法如下：

當x≤-2時，函式是-x+4，則該不等式轉化為-x+4≥-x+a在x∈R上恆成立，解得a≤4；

當-2<x<1時，函式是-3x，則該不等式轉化為-3x≥-x+a在x∈R上恆成立，解得a≤-2；

當x≥1時，函式是x-4，則該不等式轉化為x-4≥-x+a在x∈R上恆成立，解得a≤-2；

綜上所述，實數a的取值範圍為(-∞,-2).

總結

解決絕對值的題型時，一般都是先去掉絕對值。而恆成立的問題時，都是找到不等號兩邊函式的最大值或者是最小值時去求解，一般求解的過程中，還經常需要藉助圖形來幫助解決問題。

所以上述的問題就是將這兩種情況融合在一起了，即先去掉絕對值，然後再求去掉絕對值時形成的分段函式的最小值，只要滿足最小值都大於等於另一個函式，就達到了對於取任意的x的值時不等式恆成立的情況。

該題比較簡單，重在方法，學霸莫挑！

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