前言：
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請尊重勞動成果，引用或者借鑑本文時標明出處，謝謝！
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一、互質定理
互質定理：
若兩數互質，則其和與差分別與兩數互質。同為偶數時除了2之外再無公因子，同為奇數時互質。
這應該是一個簡單又重要的定理，但查閱了許多資料，卻沒有發現相關存在。只見到一些零星結論，如小合數與大素數互質，相鄰整數互質……
特證明如下：
設A⊥B，A＋B＝C，A－B＝D。
因為數A與數B互質，則二者無共同素因子。假如A、B的和與差與二者之一含有相同因子，則提取公因子後將推匯出另外一數也必定含有該因子。這又與A、B互質矛盾，故不成立。
即：
A＝C－B＝P﹙C／P－B／P﹚，Ｂ＝C－Ａ＝P﹙C／P－Ａ／P﹚；或者A＝Ｄ＋B＝P﹙Ｄ／P＋B／P﹚，Ｂ＝Ａ－Ｄ＝P﹙Ａ／P－Ｄ／P﹚。
上式均不能成立，因此得出：Ａ⊥Ｂ⊥Ｃ，Ａ⊥B⊥D。
將A＋B＝C與A－B＝D加減，得：
２Ａ＝Ｃ＋Ｄ，２B＝C－D。
若C、D同為偶數，且除了2之外還有公因子。則2A＝2P﹙C／2P＋D／2P﹚，2B＝2P﹙C／2P－D／2P﹚。
這和C、D與A、B互質矛盾，等式不成立。
若C、D同為奇數，且擁有公因子，則2A＝P﹙C／P＋D／P﹚，2B＝P﹙C／P－D／P﹚。
這和C、D與A、B互質矛盾，等式不成立。
所以，當和C與差D同為偶數時，除了2之外再無公因子，同為奇數時互質。
例如：
69＋35＝3×23＋5×7＝104＝2×2×2×13
69﹣35＝3×23－5×7＝34＝2×17
69⊥35⊥104，69⊥35⊥34。104與34除了2之外，再無公因子。
例如：
76＋21＝﹙2×2×19﹚＋﹙3×7﹚＝97；76－21＝55＝5×11。
76⊥21⊥97⊥55。
二、二次篩選原理的逆運用
二次篩選的原理為：
如果整數N為合數，則其一定包含了小於√N的素因子。
反之，從中可以得到：
一個整數小於素數P的平方，又不包含比P小的素因子，必定是一個素數。
結合互質定理，推論出：
由完整素數序列P1、P2、P3……Pn相乘的組合數字，其和與差均不包含序列中的素因子。當該數小於P﹙n＋1﹚的平方時，必定是一個素數。
即，由前數推導後數，可以得出﹙Pn，P﹙n＋1﹚^2﹚內的全體素數。
例如：
2×3×5＋7×11＝30＋77＝107
107與30、77互質，不含素因子2、3、5、7、11，又小於13的平方169。所以，不需要再做素性判定了，它肯定是一個素數。
假設人之初，我們只有唯一的數字1。
由1＋1＝2，且2只能被自身與1整除，得出它是唯一的偶素數，2＋1＝3是最小的奇素數。
繼而推論，比3^2＝9小的合數必含因子2。由2＋3＝5，2＋5＝7，得出5、7必然不含因子2，是素數。
由5、7推匯出，小於5^2＝25的合數必含因子2、3，小於7^2＝49的合數必含因子2、3、5，否則便是素數。
延長素因子的序列鏈，加減新產生的素數，從而遞升出全體素數。
2×3＋5＝11 …… 2×5＋3＝13 …… 3×5＋2＝17
2×3＋11＝19 …… 2×3＋17＝23
2×7＋3×5＝29 …… 2×5＋3×7＝31 …… 2×3×5＋7＝37
2×3×5＋11＝41 …… 2×3×5＋13＝43 …… 2×3×5＋17＝47
……
三、遞升演算法的五種運用
一、 加減法
利用素數序列形成的互質數加減，自動排斥[2，P]區間內的素因子，當得數比P﹙n＋1﹚的平方小，即為素數。
例如：
2×3×7＋5×11＝97
2×3×5×7－11×13＝67
二、 除法
利用奇素數的序列組合加減，將得數除盡因子2，當小於P﹙n＋1﹚平方時即為素數。
例如：
331＝﹙5×11×17－3×7×13﹚／2
347＝﹙3×5×13×17－7×7×11﹚／8
三、 擴大上界
即使演算法產生的得數大於了上界P﹙n＋1﹚平方，但因為P﹙n＋1﹚、P﹙n＋2﹚……的組合有限，排除掉若干組合數之後，剩餘均為素數。
例如：
小於23×23＝529又不含17以內素因子的合數，僅僅有19×19＝361與19×23＝437兩個。
所以，儘管5×11×17－2×3×7×13＝389超出了上界，必定還是素數。
四、 指數加權
互質數的因子以指數增長，並不影響互質的性質。對素數序列進行指數加權，按照上述的方式操作，依舊得到素數。
例如：
23＝3×3×3－2×2
263＝2×5×7×11－3×13^2
五、 缺項排斥
如果素數的序列鏈缺失了某因子，而得數又不含該因子，演算法依舊成立。
例如：
2×3×7×11－13×17＝241，儘管缺失了因子5，得數卻不含5，所以是一個素數。
2×3^2×7×11－13×17＝1165，除盡5之後得到的233＜19^2，必定是素數。
四、遞升演算法輸出全體素數的證明
設P為任意奇素數，N為不含P因子的正整數。
則P＝﹙P＋N﹚－N，或者P＝﹙P－N﹚＋N。由互質定理得出，﹙P＋N﹚、﹙P－N﹚與N、P均互質。
隨著N的變化，Ｐ將遍歷不含本因子的所有互質數加減。
任意取一條不含P的素因子序列長鏈，必然有對應的互質數N加減之後得到P。只要調整素因子長鏈與互質數，必定能夠生成該數。
說明，無論P為什麼素數，遞升演算法一定包含了它的多種輸出形式。
例如：
數字199，遍歷﹙1＋198﹚、﹙2＋197﹚、﹙3＋196﹚……﹙200－1﹚、﹙201－2﹚、﹙202－3﹚……等無窮形式。
距離最近的素數序列鏈為2×3×5×7＝210，容易得到2×3×5×7－11＝199。它雖然超出上界13^2＝169，卻小於13×17＝221，必為素數。
其實這也屬於缺項排斥，序列裡缺少了因子13。假如缺3和5，結合指數加權便成為了算式：199＝2^3×7＋11×13。
滿因子鏈的指數加權，則是：199＝2×2×2×2×3×5×5－7×11×13。
甚至採取暴力的方式，用滿因子序列鏈直接減，得到：199＝5×7×11×13－2×3×3×3×89。該數與89及17以下的全體素因子互質，又小於17的平方289，必然是一個素數。
例如，47。
簡單的遞升演算法為：2×3×5＋17＝47。
複雜的遞升演算法為：5×5×5×5×5×5×5×5－2×3×7×11×13×13＝47。
五、尋找超大素數
受到上界的限制，遞升演算法只能夠輸出素數。
一旦放棄上界，將面臨該數有可能是合數的問題。但素因子長鏈被釋放了，輕易便生成了超大素數。
每一個大素數的獲取都要消耗龐大資源，尋找途徑往往是對大整數作素性判定。例如梅森素數，廣義費馬數，烏拉姆螺旋對角線數……等等。
隨著n趨於無窮大，素數分佈也趨向於0。從一堆大整數里分離出大素數，相當於大海撈針。
第51個梅森素數（2p－1）達到了24862048位，P＝82,589,933，意味著輸出機率僅為0.00006％。
以下是我透過遞升演算法，對單因子加權之後統計的大素數輸出機率。複合加權的方式繁多，也可以。
10^13﹙萬億級﹚：計算65次，產生素數24個，μ＝37％。
10^14﹙十萬億級﹚：計算80次，產生素數26個，μ＝33％。
10^16﹙千萬億級﹚：計算107次，產生素數28個，μ＝26％
例如，當P#為：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43
得：
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41－43^2＝304250263525361
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41＋43^2＝304250263529059
……
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×43－41^4＝319091736971069
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×43＋41^4＝319091855653031
……
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×41×43－37^2＝353588144097821
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×41×43＋37^2＝353588144100559
……
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×37×41×43－31^8＝421171668048689
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×37×41×43＋31^4＝422024560009651
……
2×3×5×7×11×13×17×19×23×31×37×41×43－29＝451129701092041
2×3×5×7×11×13×17×19×23×31×37×41×43＋29^2＝451129701092911
……
2×3×5×7×11×13×17×19×29×31×37×41×43－23＝568815710072587
2×3×5×7×11×13×17×19×29×31×37×41×43＋23^2＝568815710073139
……
2×3×5×7×11×13×17×23×29×31×37×41×43－19^5＝688566383401271
2×3×5×7×11×13×17×23×29×31×37×41×43＋19^3＝688566385884229
……
2×3×5×7×11×13×19×23×29×31×37×41×43－17^5＝769574194560733
2×3×5×7×11×13×19×23×29×31×37×41×43＋17^2＝769574195980879
……
2×3×5×7×11×17×19×23×29×31×37×41×43－13＝1006366256282297
2×3×5×7×11×17×19×23×29×31×37×41×43＋13^3＝1006366256284507
……
2×3×5×7×13×17×19×23×29×31×37×41×43－11＝1189341939242719
2×3×5×7×13×17×19×23×29×31×37×41×43＋11＝1189341939242741
……
2×3×5×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43－7＝1868965904524283
2×3×5×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43＋7＝1868965904524297
……
2×3×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43－5^10＝2616552256568381
2×3×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43＋5^3＝2616552266334131
……
2×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43－3^2＝4360920443890001
2×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43＋3^2＝4360920443890019
……
3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43－2^25＝6541380632280583
3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43＋2^10＝6541380665836039
……
仔細觀察，素數呈現出奇怪的規律。
數軸上，在素因子長鏈左右距離為缺項因子P的n次方位置，總會冒出兩個不一定嚴格對稱的素數。
把上面的式子相減，便得到了素數間距。
針對素數P，恆存在素數間距d＝P^m×﹙P^n＋1﹚，中間夾著一條不含P的素因子長鏈。
再隨機挑選幾條超大的長鏈檢查，情況依舊。
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43＋47
＝13082761331670077
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43－47^5
＝13082761102325023
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113
3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43×47×53×59×61×67×71×73×79
×83×89×97×101×103×107×109×113＋2^4
＝15805027320208803894072603145771831246637343511
3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43×47×53×59×61×67×71×73×79
×83×89×97×101×103×107×109×113－2^4
＝15805027320208803894072603145771831246637343479
……
小素數的間距同樣如此。
2×3×5＋7＝37，2×3×5－7＝23
即：d﹙23，37﹚＝37－23＝7^1×﹙7^0＋1﹚＝7×2＝14
2×3×5×7＋11^2＝331，2×3×5×7－11＝199
即：d﹙199，331﹚＝331－199＝11^1×﹙11^1＋1﹚＝11×12＝132
……
不過，這暫時是一個經驗公式。
d＝P^m×﹙P^n＋1﹚，還缺乏嚴格的理論證明。
可以見到，當m＝n＝0時，d＝2，就是大名鼎鼎的孿生素數猜想。
六、生成素數表
應用了電腦技術後，素數表飛快拓展，一般是在埃氏篩法基礎上做二次篩選。
選取1~n 的連續整數，對每一個數用小於√n的整數試除，不能除盡的就是素數。複雜度是O(n√n)，在n非常大時計算量奇高，連電腦也吃不消。
後來改進了演算法，排除已經產生的小素數倍數，用小於√n的素數試除。隨著n越來越大，計算量還是急劇攀升，難以為繼。
遞升演算法生成素數的速度相當快，我綜合了各方面因素，推出輾轉相加生成素數表的方式。
用素連乘Pn#與大於Pn之數相加﹙Pn的倍數除外﹚，再與新數輾轉相加，直至小於下一級P﹙n＋1﹚#＋P﹙n＋1﹚。
判斷﹙ Pn#，P﹙n＋1﹚#＋P﹙n＋1﹚ 的大小，排除大因子倍數，餘下即為區間內的全體素數。
參考遞升原理，很容易證明不會有素數遺漏，此處省略。
與其它生成素數表的演算法相比，它的運算量要少得多，優勢明顯。
1） 加法比乘法簡單。
2） 在輾轉相加的過程中自動排斥了小因子倍數。
3） 不需要尋找整數n，試除大因子。
例如：
2# → 3、5、7
3#＝2×3＝6。
將6與上一級2#遞升出的大於3的數依次相加，再輾轉加以新數，得：
＋5＝11，＋7＝13，＋11＝17，＋13＝19，＋17＝23，＋19＝25，＋23＝29，＋25＝31
小於5的平方25即為素數，排除25。
5#＝2×3×5＝30。
將30與前面大於5的數依次相加﹙5倍數除外﹚，再輾轉加以新數，直至小於7#＋7＝217。
得到如下數表：
37、41、43 、47、 49 、53、59 、61、67、71 、73 、77、79、83、89 、91 、97 101、103、107 、109、113、119、121、127、131、133、137、139 、143、149 151、157 、161、163、167、169、173、179 、181、187、191、193、197 、199 203 、209、211
√211 ＞14，說明上表出現了7、11、13的倍數。
不需要一一試除，判斷合數為7×7，7×11，7×13，7×17，7×19，7×23，7×29，11×11，11×13，11×17，11×19,，13×13，排除即可。
7#＝2×3×5×7＝210。
得：
221、223、227、229、233、239、 241、247、 251、 253、 257、263、269、271 277、281 、283、289、293、299、307 、311、313、 317、 319、323、331、337 341、347 、349、353、359、361、367 、373 、377、379、383、389、 391、397 401、 403、407、409 、419、421、431、433、 437、439、443、449 、451、457、461、463 、467、 473、479、481、487、491 、 493、499 ……
七、大數分解
大數分解一直是數論中沒有解決的難題，也是核心問題。
遞升演算法提供了一種新的方案。
任意一個素數Q，都被夾在了無窮多的素因子長鏈中間。必定可以寫成一條合適的加權滿因子長鏈，加減互質數。
即，Q＝nP#±X。
例如，397＝2×﹙2×3×5×7﹚－23，1277＝2×3×﹙2×3×5×7﹚＋17
二十一世紀，網路技術迅猛發展。有計算機的地方基本上就會有RSA加密保護，其核心機制是大數不可分解。
利用超大素數Q1、Q2相乘形成超大半素數M，只有分解了M才能夠得到完整的金鑰。目前尚無一般演算法可以解決這個難題，用二次篩選法試除又要耗費漫長的時間，等於不可解。
設M＝Q1×Q2，則M＝﹙n1P1#±x﹚×﹙n2P2#±y﹚
由於在運算中將龐大的M縮小了，再利用數字之間的關聯，解開上述的丟番圖方程並不困難。
例如，分解半素數133841437。
試除這個上億級別的半素數，電腦至少要執行1500次。而遞升演算法只需要幾步，徒手就可以完成。
……
133841437＝11551×11587
突然意興闌珊，不想多寫，我把具體的求解過程省略了。
不難，但其中將幾何的觀念轉化為代數方程，值域界定，判斷搜尋，二分躍遷……也許不容易想到。
原理類似於在摩天大樓找人。
傳統方法是從一樓開始辨認每一個人，逐層搜尋，直到發現目標為止。一旦樓層太高人數太多，就無法完成任務。
遞升演算法則是透過若干次校正，判斷出正確樓層，再啟動搜尋。
世界是一個龐大的江湖，一圈圈食物鏈嚴密防守著自家的一畝三分地。
學術界並非淨土。
不是圈中人，基本沒有發聲的機會。即使是圈中人，也要先看資歷，再看你是從哪個山頭下來的，有沒有好處……
清華大學的伊特瓦教授，是見過了完整演算的三位數學家之一，覺得某點與一些精緻演算法不謀而合。於是，給我發來了各國際小組的工作進展及RSA的演變趨勢，交流對量子計算與量子加密的看法。
受他提醒，我特意去看了波恩小組著名的大數分解演算法ggnfs。
網路上只搜尋到零星資料，不清楚具體的數學機制。猜測本質應該是多項式篩選，生成龐大數量的關係式，迴圈取模。
在某個步驟，“遞升演算法”的確與它一模一樣，接下來卻大相徑庭。我將越過漫長的數字階梯，判斷並抵達因子所處的層級，計算量小得可以忽略不計。
一臺4核電腦用ggnfs分解160位整數得好幾個月，假如為“遞升演算法”編寫了良好的程式，可能只需要執行三天。
伊特瓦並不曉得，我的日常工作是搬磚頭，沒有團隊與試驗室，純靠紙筆計算……又發來了一個270位的大數，求分解。
要知道，此前人類公佈的最大整數分解才232個十進位制位。數學家團隊依仗電腦矩陣，運行了許多年。
破解270位大數，將是一個大新聞。
我判斷了一下複雜度，感覺即使有超大計算器，以半人工的方式分解也需要一個多月。就只截取了末尾的十位數6373269391，意思意思。
……
6373269391＝3697×1723903，過程略。
分解133841437僅僅花了一分多鐘，本次卻耗費了十分鐘。原因在於，兩個因子的大小懸殊，跨越了五個階梯才尋找到正確的層級。
其它演算法恰好相反，因子越小越容易分解。
遞升演算法，針對RSA有奇效。構成半素數的因子不能差別太大了，否則會降低分解的難度。
經典的費馬演算法在這一點與遞升相似，但它還是要考察二次剩餘。面對超級大數，計算量催人淚下。
個人覺得，RSA採用的半素數越來越龐大，金鑰生成和解密過程也越來越複雜。導致電腦的執行速度越來越慢，對儲存空間的要求越來越大，不利於網路技術的發展。手機聯網導致橢圓金鑰興起，敲響了警鐘。
在研究g﹙p﹚與π﹙n﹚時，我發現了一種新的加密方式。
僅僅五位數就可以實現10的幾千次方組合，屬於真正不可破解。又不佔內層，加密和解密的速度非常快。
可惜，正因為不可破解，甲乙雙方必須傳遞完整的金鑰。一旦存在著互傳行為，資訊就有被截獲的可能，並不完美。
能不能附加一個演算法，即使金鑰被截獲了也解不開？
RSA倚仗的是大數不可分解，但我用來加密的數字本身就不大，顯然不能採取同樣的方法了。
八、素性判定
從大數分解得知，當遞升演算法匯出的丟番圖方程無整數解時，該數即為素數。
分解半素數，我們提前知道了它是兩個大素數相乘。判定素性時卻不清楚情況，必須相應地調整演算法。
原理在於，無論該數有多少個因子，均可以組成最小素因子與大因子相乘。與最小素因子互質的P#，必定與所有因子互質。
只要分離出最小的素因子，便可以判定該數是合數。
如果分離不出來，就說明它是素數。
在最初的文字中，我曾經列舉了129301與4567的判定過程，此處省略。
小結如下：
一個整數包含的素因子越多越小越懸殊，用遞升演算法進行素性判定的過程就越漫長，結合其它演算法將事半功倍。
九、遞升演算法的意義
幾千年來，人類沒有用自然數n生成所有素數的表示式，也沒有用已知素數P推匯出所有未知素數的演算法。
遞升是首個只用數字1便實現了內迴圈，繼而推匯出全體素數與自然數的演算法，並揭示了素數間距的規律。
頗具中國古典哲學的意味，道生一，一生二，二生三，三生萬物……
放開上界的限制，它輕易生成超大素數。
在拓展素數表方面，相當高效。
在素性判定方面，目前除了二次篩選法之外，其它如費馬小定理、魯梅利演算法等等，都存在侷限，只能在一定範圍和機率成立。
遞升演算法減少了運算量，能夠快速精準地判定。
在大數分解方面，遞升演算法也遠比蒙特卡洛法或者連分數法簡捷。
針對超大半素數，是目前唯一威脅到RSA安全的。
幾乎是一種完美演算法了……
世間壓根就沒有完美的事物，遞升的缺陷目前只有我和伊特瓦知道。其實演算法可以自洽彌補，卻非一夕之功，需要各機構共享資源。
2021年3月3日於荷塘