高考數學提分攻略,吃透雙曲線,拿下重難點

高考數學提分攻略,吃透雙曲線,拿下重難點
平面內與定點F1、F2的距離的差的絕對值等於常數(小於|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線,這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。

應用雙曲線的定義需注意的問題:

在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件,即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數,且該常數必須小於兩定點的距離”。若定義中的“絕對值”去掉,點的軌跡是雙曲線的一支。

區分雙曲線與橢圓中a、b、c的關係,在橢圓中a²=b²+c²,而在雙曲線中c²=a²+b²,雙曲線的離心率e>1;橢圓的離心率e∈(0,1)。

雙曲線有關的高考試題分析,典型例題1:

設直線l過雙曲線C的一個焦點,且與C的一條對稱軸垂直,l與C交於A,B兩點,|AB|為C的實軸長的2倍,則C的離心率為.

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考點分析:

雙曲線的簡單性質.

題幹分析:

設雙曲線方程,由題意可得丨AB丨=2b²/a=2×2a,求得b2=2a2,根據雙曲線的離心率公式e=c/a=√(1+b²/a²),即可求得C的離心率.

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雙曲線有關的高考試題分析,典型例題2:

雙曲線x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的右焦點為F,點P在雙曲線的左支上,且PF與圓x2+y2=a2相切於點M,若M恰為線段PF的中點,則雙曲線的離心率為()

A.√2

B.5

C.√10

D.2√5

解:由題意,△PF1F為直角三角形,

PF1⊥PF,|PF1|=2a,|PF|=|PF1|+2a=4a,

在直角△PF1F中,4c²=4a²+16a²,

∴c²=5a²,

∴e=√5.

故選:B.

考點分析:

雙曲線的簡單性質.

題幹分析:

設雙曲線的左焦點為F1,由題意,△PF1F,為直角三角形,PF1⊥PF,|PF1|=2a,|PF|=|PF1|+2a=4a,利用勾股定理,建立方程,即可求出雙曲線的離心率.

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雙曲線有關的高考試題分析,典型例題3:

已知雙曲線l:kx+y﹣√2k=0與雙曲線C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行,且這兩條平行線間的距離為4/3,則雙曲線C的離心率為()

A.2

B.2√2

C.√2

D.3

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考點分析:

雙曲線的簡單性質.

題幹分析:

根據雙曲線的漸近線方程可知丨k丨=b/a,根據兩平行線之間的距離公式,即可求得k的值,由雙曲線離心率公式,即可求得答案.

雙曲線有關的高考試題分析,典型例題4:

已知雙曲線C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)過點(√2,2√2),過點(0,﹣2)的直線l與雙曲線C的一條漸進線平行,且這兩條平行線間的距離為2/3,則雙曲線C的實軸長為()

A.2

B.2√2

C.4

D.4√2

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考點分析:

雙曲線的簡單性質.

題幹分析:

由雙曲線的漸近線方程y=±bx/a,利用點到直線的距離公式,即可求得a和c的關係,即可求得b=2√2a,將點代入橢圓方程,即可求得a的值,求得雙曲線C的實軸長。

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