中考數學壓軸題分析——已知面積求值

　　前面介紹了面積最大值的問題，接下來一段時間就是全面介紹面積有關的問題。

　　至於很多同學說能不能介紹一些幾何壓軸題的問題。當然沒問題。但是還是希望給大家呈現的內容是有序、系統的。一步步來，大家耐心等待。

　　今天的內容中，題目通常會已知一個三角形或四邊形的面積，然後再求一個點的座標或者引數的值。本質上還是三角形面積公式的應用。

　　抓住面積這個核心，其它都可以迎刃而解。今天的題目選自以下地區：

　　2019•蘇州、2019•隨州

　　2019•蘭州、2019•無錫

　　2019•懷化、2019•常德

　　2019•臨沂、2019•瀋陽

　　2019•雞西、2019•泰安

　　2019•廣元、2019•武漢

　　2019•瀋陽、2019•畢節市、2019•湘西州

　　【中考真題】

　　（2019•臨沂）在平面直角座標系中，直線y＝x 2與x軸交於點A，與y軸交於點B，拋物線y＝ax² bx c（a＜0）經過點A、B．

　　（1）求a、b滿足的關係式及c的值．

　　（3）如圖，當a＝﹣1時，在拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積為1？若存在，請求出符合條件的所有點P的座標；若不存在，請說明理由．

　　【分析】

　　本題也是求座標的題目，雖然表述與面積最值問題不同。本質上仍然是一致的。

　　由於點P的座標是未知的，那麼我們一般習慣於設未知數。然後再表示出△PAB的面積，並令其為1，解方程即可。

　　不過本題中點P的位置是拋物線上，那麼可能性比較多，有可能是直線AB的上方，也有可能是下方。因此需要分類討論。

　　解法的話可以表示出鉛錘高PQ，再表示出AB邊上的高PH，用底乘高可以表示出面積。比如下圖：

　　當然，我們也可以設過點P與AB平行的直線l的解析式，假設該直線與y軸交於點M，令△ABM的面積=1即可（根據平行線間的距離處處相等得到S△ABP=S△ABM=1）。

　　知道直線l的解析式，自然就可以求出它與拋物線的交點P了。

　　【答案】

　　解：y＝x 2，令x＝0，則y＝2，令y＝0，則x＝﹣2，

　　∴故點A、B的座標分別為（﹣2，0）、（0，2），

　　則c＝2，函式表示式為：y＝ax² bx 2，

　　當a＝﹣1時，二次函式表示式為：y＝﹣x²﹣x 2，

　　過點P作直線l∥AB，作PQ∥y軸交BA於點Q，作PH⊥AB於點H，

　　∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，

　　S△PAB=1/2×AB×PH=1/2×2√2×PQ×√2/2=1，

　　則PQ＝yP﹣yQ＝1，

　　在直線AB下方作直線m，使直線m和l與直線AB等距離，

　　則直線m與拋物線兩個交點座標，分別與點AB組成的三角形的面積也為1，

　　故：|yP﹣yQ|＝1，

　　設點P（x，﹣x²﹣x 2），則點Q（x，x 2），

　　即：﹣x²﹣x 2﹣x﹣2＝±1，

　　解得：x＝﹣1或﹣1±√2，

　　故點P（﹣1，2）或（﹣1 √2，√2）或（﹣1-√2，-√2）．

　　【總結】

　　面積問題求法流程示意：

　　設未知數

　　↓

　　表示線段長

　　↓

　　表示面積

　　↓

　　建立等量關係

　　↓

　　解方程

　　↓

　　得出結論

　　【舉一反三】