各位朋友，大家好！今天是2020年5月12日星期二。數學世界將繼續釋出初中數學習題及解析，如果你是來到這裡的新朋友，可以翻看數學世界以前釋出的文章。筆者希望對廣大學生的學習和備考有一些幫助，請朋友們密切關注數學世界！
今天，數學世界為大家分享一道初中數學中難度較大、綜合性強的解答題，這題難度考查同學們的綜合能力，屬於拔高題型。大家在做題時要認真觀察圖形，充分利用已知條件，還要考慮作輔助線，只有這樣才可能很快做出來。請大家先獨立思考一會兒，再看下面的分析和解答過程，相信一定會有收穫！
例題：（初中數學綜合題）如圖1所示，已知在△ABC中，BE⊥AC於點E，AD⊥BC於點D，連線DE.
（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周長；
（2）如圖2所示，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分線DF交BE於點F，求證：BF=√2 DE．
這道題的難度較大，需要較強的分析推理能力。很多同學由於缺乏分析問題的能力，不能發現題中考查到的知識點，而導致無法完成。第一問還比較簡單，大多數人應該可以做出來。第二問的難度就很大了，要仔細分析圖形，並結合已知條件，需要透過作輔助線，證明三角形全等才能得出結論。
大家在解答此題時，要熟練運用全等三角形的性質與判定，以及等腰三角形與直角三角形等知識。下面，數學世界就與大家一起來解決這道例題吧！
分析：（1）由直角三角形斜邊上的中線性質可以得出DE=1/2AC=AE，所以AC=2DE=2，AE=1，再由勾股定理求出AB和BC的長，即可得出結果；
（2）連線AF（如圖2所示），由等腰三角形的性質得出∠3=∠4，結合△ABD是等腰直角三角形，得出∠DAB=∠DBA=45°，∠3=22.5°，由SAS證明△ADF≌△BDF，得出AF=BF，∠2=∠3=22.5°，再證出△AEF是等腰直角三角形，即可得出結論．
（1）解：∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=CE，∠AEB=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴DE=1/2AC=AE，
∴AC=2DE=2，AE=1，
在直角三角形AEB中，
AB^2=AE^2 BE^2，BE=3，
∴AB=√10，
∴BC=√10，
∴△ABC的周長為
AB BC AC=2√10 2；
（2）證明：連線AF，如圖2所示，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴∠3=∠4，
∵∠ADC=∠ADB=90°，AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠3=22.5°，
∵∠1 ∠C=∠3 ∠C=90°，
∴∠1=∠3=22.5°，
∵DF平分∠ADB，
∴∠ADF=∠BDF，
在△ADF和△BDF中，
∵AD=BD，∠ADF=∠BDF，DF=DF，
∴△ADF≌△BDF（SAS），
∴AF=BF，∠2=∠3=22.5°，
∴∠EAF=∠1 ∠2=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=√2 AE，
∵DE=AE，AF=BF，
∴BF=√2 DE．
（完畢）
這道題主要考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質等知識。本題難度較大，綜合性強，需要透過作輔助線進行分析推理。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家在下面留言討論。謝謝！