大家好！今天和大家分享一道日本初中數學競賽題(題目見下圖)。這是2016年日本七年級的一道數學競賽題，題目看似簡單，但是隻有不到10％的學生得到滿分。下面我們一起來看一下這道題目。
看到這道題目，不少同學覺得並不難，因為這個形式在平時的作業中似乎遇到過。比如下面這道題：已知x²+x+1=0，求x²+1/x²的值。
很明顯x≠0，所以將式子x²+x+1=0兩邊同時除以x可以得到：x+1/x=-1，而x²+1/x²=(x+1/x)²-2=(-1)²-2=-1。
上面這道題的已知條件和日本這道競賽題實際上是一樣的。如果把兩道題的已知條件換一下，兩題的形式就非常接近了，所以有的同學一開始就想到了這道題。
如果用這道題的解法，那麼所求的這個式子又該怎麼處理呢？最後會發現非常不好處理，因為所求的式子不能湊成x+1/x的形式，所以這個方法行不通了。
我們再來看一下下面這道競賽題：已知x²+x+1=0，求x^17+x的值。
這道題與前面兩題的已知條件一樣，但是所求式子的形式不一樣。這道題所求的值是一個整式，所以不需要將等式兩邊都除以x，上面的方法就不能用了。
另外還可以嘗試求出x的值，再代入所求式子進行計算。但是題目給出的一元二次方程的判別式小於零，很明顯沒有實數解，所以這個方法也不可行。
我們再換個思路：先看一下等式左邊的式子x²+x+1，對於熟悉立方差公式的同學應該可以發現，這是x³-1的展開式中的一項[x³-1=(x-1)(x²+x+1)]，所以就有x³-1=0，即x³=1。然後再將所求式子進行變形即可得答案，過程見下圖。
上面這道題雖然不能求出x的值，但是可以求出x³的值，那麼這道題的思路也可以用在這道競賽題上。
首先，先將等式兩邊同時乘以t並移項可得：t²+t+1=0，兩邊再同時乘以t-1，可以得到t³=1。然後再將t^2016變形成(t³)^672，代入計算即可得到答案。
這道題的難度就在於對已知條件的處理。如果陷入了求出t的值再代入的思維中，那麼這道題肯定是做不出來的，因為這個t實際上是個複數，而不是實數。所以我們想辦法把t的多少次冪作為一個整體進行計算，這也是競賽題中常考的一個計算技巧。比如下面這道日本競賽題還是用到了整體思維。
這道題就和大家分享到這裡，你覺得難嗎？