各位關注數學世界的老朋友和新朋友，大家好！數學世界今天將繼續為大家分享初中數學中比較有代表性的解答題，筆者希望透過對習題的分析與講解，能夠為廣大初中生學習數學提供一些幫助！
一直以來，數學世界都是精心挑選一些數學題分享給大家，希望由此激發學生們對數學這門課程的學習興趣，並能給廣大學生的學習提供一點幫助！
今天，數學世界分享一道綜合解答題，涉及了相似三角形的判定和性質，圓的有關性質，切線的判定和性質，銳角三角函式等知識。下面，數學世界就與大家一起來看題目吧！
例題：（初中數學綜合題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，D是AB上的一點，DE⊥AB於D，DE交BC於F，且EF=EC．
（1）求證：EC是⊙O的切線；
（2）若BD=4，BC=8，圓的半徑是5，求切線EC的長．
切線的定義:平面幾何中,與圓只有一個公共交點的直線叫做圓的切線.
切線的判定:經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線.
切線的證明方法：(一)作半徑證垂直，(二)作垂直證半徑.
分析與解答：（請大家注意，想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。以下過程可以部分調整，並且可能還有其他不同的解題方法）
解：（1）連線OC，（證明切線一般都需要連半徑）
∵OC=OB，（圓的半徑相等可以直接用）
∴∠OBC=∠OCB，（等邊對等角）
∵DE⊥AB，（已知條件）
∴∠OBC+∠DFB=90°，（直角三角形的性質）
∵EF=EC，（已知條件）
∴∠ECF=∠EFC=∠DFB，（等邊對等角，對頂角）
∴∠OCB+∠ECF=90°，（等量代換）
即∠ECO=90°，
∴OC⊥CE，（垂直定義）
∴EC是⊙O的切線.（切線的判定）
∴∠ACB=90°，（直徑所對的圓周角是90°）
∵OB=5，（圓的半徑是5）
∴AB=10，（已知半徑求出直徑）
∵在直角三角形ABC中，AB=10，BC=8，
∴AC=6，（用勾股定理計算）
∵cos∠ABC=BD/BF＝BC/AB，（銳角三角函式定義）
∴8/10＝4/BF，（代入資料進行計算）
∴BF=5，
∴CF=BC-BF=3，（觀察圖形即可得出）
∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠BFD=90°，（直角三角形的性質）
∴∠BFD=∠BAC，
∴∠BAC=∠BFD=∠ECF=∠EFC，（等量代換）
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=∠BFD=∠ECF=∠EFC，
∴△OAC∽△ECF，（相似三角形的判定）
∴EC/OA＝CF/AC，（由相似得出線段比例式）
∴EC/5＝3/6，（代入資料進行計算）
∴EC=5/2．
（完畢）
這道題屬於圓的綜合題，考查了圓的有關性質，相似三角形的判定和性質，切線的判定和性質，銳角三角函式等知識，透過證明△OAC∽△ECF，再由相似得出線段比例式是解答本題的關鍵。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家留言討論。