公務員考試均值不等式行測極值問題

在行測考試中，數量關係作為一種必考題型。而大家在做這部分題目時，由於題目難度相對較大，很多同學往往耗費很長時間，而正確率卻得不到保證，進而會影響到整套行測試卷的完成。如何能用較短的時間做對這部分的題目一直都是各位考生的痛點。其實究其原因，主要是因為對於數量關係題目的考點掌握不太好。今天就和大家來學習一下數量關係中的極值問題當中的一個考點：均值不等式。

所謂的均值不等式，大家可以直接掌握一句話：和定，差小，積大;積定，差小，和小。指的是當兩個數和一定時，這兩個數差越小，乘積就越大;而當兩個數乘積一定時，這兩個數差越小，和就越小。那均值不等式具體在做題中如何運用呢?

我們先來看下面的例題：

例1.直角三角形兩直角邊和為12，則該直角三角形面積最大為?

A.10 B.18

C.20 D.36

【答案】B。解析：題目所求為三角形面積最大，而我們知道對於直角三角形而言，面積應該等於直角邊乘積的一半，所以要求直角邊乘積最大。設兩直角邊為a和b，題目中說兩直角邊和為12，即a b=12，和一定。現求ab的最大值，即乘積最大值，此時想到和定差小，積大。所以當a與b差最小時，乘積最大。而a與b差要想最小，則a=b，此時兩直角邊均為6。則三角形面積為6×6÷2=18。

接下來再來看下面的例題：

例2.某市有一長方形廣場，面積為2500平方米，則該廣場周長至少為()米?

A.160 B.200

C.250 D.320

【答案】B。解析：題目所求為周長至少為多少，即周長最小值，而長方形周長為長加寬的2倍，設長和寬分別為a和b，則周長為2(a b)。要想周長最少，則a b要最小，即求的是和的最小值，而題目中說面積為2500，即ab=2500，乘積一定。所以根據均值不等式積定，差小，和小。可知當差最小時，即a=b=50時，a b的和為最小，此時周長為2(a b)=2(50 50)=200。

上面兩道題目都是直接利用均值不等式進行求解，而在我們實際做題中，經常還會遇到一些題目利用均值不等式時要先做一些轉換。比如我們看下面的例題。

例2.某苗木公司準備出售一批苗木，如果每株以4元出售，則可賣出20萬株，若苗木單價每提高0.4元，就會少賣1萬株，問在最佳定價下，該公司最大收入為()萬元

A.60 B.80

C.90 D.100

【答案】C。解析：要求公司最大收入，而我們知道總收入=每株收入×數量，設單價提高x個0.4元，此時少賣x個1萬株，則總收入=(4 0.4x)(20-x)，所以求的是乘積的最大值，此時想到均值不等式，和定差小，積大。但題目中兩個式子此時和不是定值，首先構造和一定，則需要消掉未知數x,所以給第二個式子乘以0.4，可得總收入為

，求分子最大值，二分子兩個式子和為12，和一定，則差越小，乘積越大。所以差最小時即兩個式子相等，即4 0.4x=8-0.4x，解得x=5，此時總收入為6×15=90萬元。