公務員考試均值不等式行測極值問題

在行測考試中,數量關係作為一種必考題型。而大家在做這部分題目時,由於題目難度相對較大,很多同學往往耗費很長時間,而正確率卻得不到保證,進而會影響到整套行測試卷的完成。如何能用較短的時間做對這部分的題目一直都是各位考生的痛點。其實究其原因,主要是因為對於數量關係題目的考點掌握不太好。今天就和大家來學習一下數量關係中的極值問題當中的一個考點:均值不等式。

所謂的均值不等式,大家可以直接掌握一句話:和定,差小,積大;積定,差小,和小。指的是當兩個數和一定時,這兩個數差越小,乘積就越大;而當兩個數乘積一定時,這兩個數差越小,和就越小。那均值不等式具體在做題中如何運用呢?

我們先來看下面的例題:

例1.直角三角形兩直角邊和為12,則該直角三角形面積最大為?

A.10 B.18

C.20 D.36

【答案】B。解析:題目所求為三角形面積最大,而我們知道對於直角三角形而言,面積應該等於直角邊乘積的一半,所以要求直角邊乘積最大。設兩直角邊為a和b,題目中說兩直角邊和為12,即a b=12,和一定。現求ab的最大值,即乘積最大值,此時想到和定差小,積大。所以當a與b差最小時,乘積最大。而a與b差要想最小,則a=b,此時兩直角邊均為6。則三角形面積為6×6÷2=18。

接下來再來看下面的例題:

例2.某市有一長方形廣場,面積為2500平方米,則該廣場周長至少為()米?

A.160 B.200

C.250 D.320

【答案】B。解析:題目所求為周長至少為多少,即周長最小值,而長方形周長為長加寬的2倍,設長和寬分別為a和b,則周長為2(a b)。要想周長最少,則a b要最小,即求的是和的最小值,而題目中說面積為2500,即ab=2500,乘積一定。所以根據均值不等式積定,差小,和小。可知當差最小時,即a=b=50時,a b的和為最小,此時周長為2(a b)=2(50 50)=200。

上面兩道題目都是直接利用均值不等式進行求解,而在我們實際做題中,經常還會遇到一些題目利用均值不等式時要先做一些轉換。比如我們看下面的例題。

例2.某苗木公司準備出售一批苗木,如果每株以4元出售,則可賣出20萬株,若苗木單價每提高0.4元,就會少賣1萬株,問在最佳定價下,該公司最大收入為()萬元

A.60 B.80

C.90 D.100

【答案】C。解析:要求公司最大收入,而我們知道總收入=每株收入×數量,設單價提高x個0.4元,此時少賣x個1萬株,則總收入=(4 0.4x)(20-x),所以求的是乘積的最大值,此時想到均值不等式,和定差小,積大。但題目中兩個式子此時和不是定值,首先構造和一定,則需要消掉未知數x,所以給第二個式子乘以0.4,可得總收入為

,求分子最大值,二分子兩個式子和為12,和一定,則差越小,乘積越大。所以差最小時即兩個式子相等,即4 0.4x=8-0.4x,解得x=5,此時總收入為6×15=90萬元。

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