威爾遜得分：樣本量過少，如何科學衡量喜好程度？一個數據分析的常見難題

“分享一個常見的場景，也是經常困擾大家的問題。”

先來一個場景：假設平臺售賣兩款手機A和B。A手機有800人喜歡，200人不喜歡；B手機有9人喜歡，2人不喜歡。那麼，使用者更喜歡哪款手機？

相信這個場景，各位朋友在日常生活中、在工作中都遇到過。你們平時是如何做判斷呢？希望透過今天的文章，能給大家一個新的視角、也更加科學的方案。

一、常見的衡量方法

我想，大家的第一反應應該是按照比率進行衡量吧？因此，

A手機喜好率=800÷（800+200）=80%

B手機喜好率=9÷（9+2）=82%80%<82%

因此使用者更喜歡B手機。

這樣對嗎？

看起來沒毛病。畢竟喜歡率越高，代表使用者更喜歡嘛！但是，相信朋友也看出了這個例子的端倪：B手機的總共的樣本量才11個，雖然喜歡率高，但是樣本量這麼低，隨便一個數據變化都會對結果產生巨大的影響。

因此，按照這種比率的方法，算出的喜歡率，“靠譜”嗎？用統計學的語言，置信嗎？

二、威爾遜得分

上面我們覺得按照簡單的喜歡率來計算，有點難衡量。但是，如果不按照喜歡率來比較，還能如何計算呢？這就是我們今天的主題了：威爾遜得分。

1. 公式定義

先看看具體的威爾遜得分計算公式：

u表示正例數（喜歡），v表示負例數（不喜歡），n表示例項總數（總樣本數），p表示喜歡率，z是正態分佈的分位數（引數），S表示最終的威爾遜得分。得分越高，代表越喜歡的程度、喜歡的機率越大。

通常，當置信度95%的情況下，z取1.96（近似2）即可。其他常見置信水平與z取值的對應關係如下：

關於置信區間的概念，可以參考文章《區間估計的置信區間概念及方法》。

2. 案例驗證

下面，我們根據上面的公式，計算一下我們開頭案例的A手機和B手機的威爾遜得分情況。

對於A手機，n=1000，p=0.8，按照95%的置信度，取z≈2，代入威爾遜得分公式中，求得S(A)=0.77

對於B手機，n=11，p=0.82，按照95%的置信度，取z≈2，代入威爾遜得分公式中，求得S(B)=0.52

因此，0.77>0.52，A手機的威爾遜得分高於B手機，按照該演算法，我們有結論：在置信度95%的情況下，雖然A手機的喜歡率不如B手機，但是有理由相信使用者對A手機其實是更加喜歡的。

3. 相關應用

其實該得分演算法的應用還是比較多的。

除了上文中提出的例子外，該得分演算法經常應用於各個網站的排序上。比如知乎的搜尋排序（我看網上有說知乎是用的威爾遜得分進行的。這裡我也沒法驗證，如果有知乎的朋友可以留言驗證一下。關於搜尋演算法可以參考文章《搜尋系統的基礎知識以及應用》）：

可以看出，知乎的搜尋結果排序中，並不是完全基於贊同數量進行的倒敘排列。如果完全贊同數多的回答置頂，那麼新的高質量回答，就永遠沒有出頭之日了，對於內容生態的維護一定是有很大問題的。

當然，哪怕是用了威爾遜得分，真實實踐中，也會在這個基礎上增加更多維度的打分，咱們這裡就是以此舉例，說明威爾遜得分的應用場景，大家清楚就好。

如果只是想把威爾遜得分作為工具，那麼掌握到這裡、知道了公式該如何使用、如何計算、應用場景是啥，就足夠了。但如果想深入理解一下公式的統計學含義以及推導邏輯，可以參考下面一節。

三、統計原理與邏輯

下面，我們一起看看這個威爾遜公式是怎麼得到的，以及背後的統計學原理是啥。

1. 原理概述

首先，威爾遜得分只是威爾遜區間的一個變形，取了威爾遜區間的下限值作為威爾遜得分。

那什麼是威爾遜區間呢？

本質上，威爾遜區間其實就是使用者喜歡率的一個區間估計（關於區間估計可參考歷史文章《區間估計的基礎介紹》）。但是該區間估計考慮了樣本過小時候的情況，根據樣本量對區間估計進行了修正，使得該區間估計能夠較好的衡量不同樣本量情況。

說白了，我們用樣本計算的使用者喜歡率，本質上只是對使用者真正的喜歡率的一個點估計而已，樣本越少，可信度越低；樣本數越多，根據中心極限定理，點估計越接近真實值。如果樣本數都很多，那麼我們直接計算手機A和B的喜歡率，基本就能代表真實情況了，是可以比較的。但是當樣本數不夠，就面臨了上文中的問題。威爾遜，就是1920年代提出了這個區間估計的公式，用以解決小樣本的準確性問題。

由於提出的公式是區間估計公式，所以本來是一個一個的區間。比如假設A手機的喜歡率95%置信區間估計是[0.77,0.83]，B手機喜歡率95%的置信區間估計是[0.52,1]。如何對比兩個區間呢？威爾遜得分就是取了不同區間的下限進行比較，因此哪個下限高，代表機率更高。

2. 公式推導

這裡的公式推導其實還是有點複雜的，我不一一展開了，放一下網上的推導步驟截圖，有興趣的朋友可以自行探索一下啊！

3. 性質特性

最後我們看看這個公式的一些性質吧。

• 性質1：得分S的範圍是[0,1)，效果：已經歸一化，適合排序
• 性質2：當正例數u為0時，p為0，得分S為0；效果：沒有好評，分數最低；
• 性質3：當負例數v為0時，p為1，退化為1/(1 + z^2 / n)，得分S永遠小於1；效果：分數具有永久可比性；
• 性質4：當p不變時，n越大，分子減少速度小於分母減少速度，得分S越多，反之亦然；效果：好評率p相同，例項總數n越多，得分S越多；
• 性質5：當n趨於無窮大時，退化為p，得分S由p決定；效果：當評論總數n越多時，好評率p帶給得分S的提升越明顯；
• 性質6：當分位數z越大時，總數n越重要，好評率p越不重要，反之亦然；效果：z越大，評論總數n越重要，區分度低；z越小，好評率p越重要；

4. 變形擴充套件

另外，我們這裡都是二項分佈。如果是評分等級問題：如五星評價體系，或者百分評價體系，該怎麼辦呢？

將威爾遜得分的公式由伯努利分佈修改為正態分佈，帶入相關引數即可。

注意：均值和方差均是歸一化之後的數值。

關於威爾遜得分，我們就分享這些，希望對大家今後的資料工作能有所幫助。以後再衡量哪個更好，可以有更專業的演算法模型了！

#專欄作家#

NK冬至，公眾號：首席資料科學家，人人都是產品經理專欄作家。在金融領域、電商領域有豐富資料及產品經驗。擅長資料分析、資料產品等相關內容。

本文原創釋出於人人都是產品經理。未經許可，禁止轉載。

題圖來自Unsplash，基於CC0協議。