泛函分析：n維空間到無窮維空間的幾何學和微積分學

泛函分析是分析數學中一個年輕的分支，作為古典分析觀點的推廣，它綜合函式論、幾何、代數的觀點研究無窮維向量空間上的函式、運算元、和極限理論。到20世紀四五十年代成為一門理論完備、內容豐富的數學學科。

泛函分析的產生

19世紀以來，數學的發展進入了一個新的階段：

出於對歐幾里得第五公設的研究，引入了新的幾何學——非歐幾何；出於對於代數方程求解的一般思考，建立並發展了群論；數學分析的研究又促進了集合論的誕生。19世紀的新數學理論都為用統一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化準備了條件。數學家開始著手分析學的一般化工作：

瑞典數學家弗列特荷姆和法國數學家阿達瑪發表的著作中，最先出現了把分析學一般化的萌芽；希爾伯特和海令哲則開創了“希爾伯特空間”的研究；到20世紀20年代，一般分析學開始在數學界逐漸形成，也就是泛函分析的基本概念；在20世紀30年代，泛函分析成為數學中一門研究無限維線性空間上的泛函式和運算元理論的獨立學科。由於分析學中分析、代數、集合的許多概念和方法存在相似的地方。比如：應用逐次逼近法既能用於代數方程求根，也能用於微分方程求解，並且兩類方程有著極其相似的“解的存在和唯一性條件”。這種相似性繼續在積分方程論中得到表現。

正是分析學中這些乍看起來不相干，卻存在著類似的東西，啟發了數學家從中探尋一般的、真正屬於本質的東西，從而促進了泛函分析的產生，使得古典分析的基本概念和方法得到一般化、幾何化。

非歐幾何的確立，數學家認識到了n維空間幾何，於是多元函式可以用幾何學的語言解釋成多維空間的影響。分析和幾何之間的這種相似的聯絡，使得分析幾何化成為一種可能，這種可能性要求把幾何概念作推廣，以至把歐氏空間擴充成無窮維數的空間。

在無窮維空間中，為滿足現代數學的發展要求，函式概念也被賦予了更為一般的意義：不同於古典分析中的函式概念是指兩個數集之間所建立的一種對應關係；考慮的函式關係是建立兩個任意集合之間的某種對應關係，其中無限維空間到無限維空間的變換叫做運算元。可以把不同型別的函式看作是“函式空間”的點或向量，從而得到個一般的“抽象空間”概念。

泛函分析的內容

泛函分析是研究現代物理學的一個有力工具。n維空間可以用來描述具有n個自由度的力學系統，然而要對具有無窮多自由度的力學系統進行描述，需要新的數學工具。一般來說，從質點力學過渡到連續介質力學，就是有窮自由度系統過渡到無窮自由度系統。現代物理學中的量子場理論就屬於無窮自由度系統。

研究有窮自由度系統要求 n維空間的幾何學、微積分學作為工具，研究無窮自由度的系統需要無窮維空間的幾何學和分析學，這正是泛函分析的基本內容。正因為如此，泛函分析也被通俗的叫做無窮維空間的幾何學和微積分學。古典分析中的基本方法是用線性的物件去逼近非線性的物件，泛函分析仍然沿用了這一思路。

發展到現在，泛函分析以其他眾多學科所提供的素材來提取研究的物件和某些研究手段，並形成了許多重要分支。分支如下圖所示：

泛函分析的發展也強有力地推動著其他分析學科的發展，是建立群上調和分析理論的基本工具。它在微分方程、機率論、函式論、計算數學、連續介質力學、量子物理、控制論、最最佳化理論等學科中都有重要的應用。近年來，泛函分析的觀點和方法在工程技術方面也獲得了更為有效的廣泛應用。

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