今天，我们聊聊有限单元法的思想来源，主要从力学知识的梳理到微分方程的求解，从1D杆系问题到3D复杂结构的处理，那么在这个过程中是如何产生有限元思想的呢？
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质点、刚体和变形体
我们从所学习的力学知识谈起，首先从质点、刚体、变形体的概念来切入，引出五类力学的知识区域。
所谓质点，源于我们的中学力学，对象指的是无变形、无形状的一个质心，常由牛顿三大定律方程描述。
所谓刚体，源于我们的理论力学，考虑了研究对象的形状，关键涉及到了由于对象自身转动引起研究问题变化的情况。
变形体来源于多门力学知识，比如材料力学，研究的是简单形状的小变形问题，如梁、杆，涉及的是线性和低阶微分方程的求解；结构力学研究是拥有众多数量且形状简单的小变形问题，如刚架、桁架，涉及的多是大规模的线性方程组；弹性力学就偏向于复杂形状的小变形问题，如壳、不规则几何体，基本单元取得是dxdydz微体；弹塑性力学就偏向于屈服、非线性等较大变形的问题。
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变形体力学的要点
了解清楚质点、刚体、变形体后，接下来我们主要过渡到变形体力学方面的知识，这将是有限元发源的基础。
材料力学为了描述材料的力学行为，首先从同一材料的拉伸实验开始，把数据处理后引出了弹性模量的概念，形成了三大类变量——应力、应变与位移，消除了材料试样几何因素的影响，对材料本构进行了解释与构建。
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微分方程的求解方法
对于实际问题，方程多为微分方程，关于方程的求解方法有两大类：一类是解析方法，即通过函数关系的推导得出精确解；另一类是近似方法，如差分法与试函数法。
近似方法，步骤规范，容易编为计算机程序，以牺牲精度的方式，获取满足工程精度的结果，在实际工程中应用较多。
接下来我们以下面的一个实例进行方法介绍：
相对来说，试函数更为简单，计算量比较小，关键在于如何构造满足边界条件的试函数。也就引出了下面我们要说的问题：关于函数逼近的方式！
试函数与函数逼近
这里，关于试函数的问题，关键是要讨论函数的逼近问题。我们以一维函数为例，分析它的展开与逼近形式。
现在我们的方向是针对复杂几何域的函数表征及逼近。
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有限元的核心原理
现在就很接近真相了，有限元的核心就是针对复杂几何域，采取分段、分片或者分块的方式，也就是子域的方式来构造相应的简单函数，然后再拼出一个全域的试函数。这种方式容易做得到。
我们从一个几何开始，进行几何离散，形状基本构件。我们把里面分出来的这些基本构件，像这些规范化的子域我们称之为单元，我们做好一系列的单元，就可以用它拼出我们需要的形状，处理复杂的几何问题。
这就是我们有限元非常重要的一个基础，由基本构件来构建复杂的对象。
关于有限元的思想，其实在一百多年前就有了，一个是从工程方面，主要是工程师根据工程实际得到启发，用直觉的方式构造试函数；另一种是数学家主要从求解微分方程及试函数如何控制误差这个角度发展有限元。随着各位科学的研究和工业的应用，有限元软件也逐渐发展了起来，成为了工程仿真计算必不可少的工具。
