期中考试——完全平方公式的综合运算
在一次数学活动课上,张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片,其中甲种是边长为x的正方形,乙种纸片是边长为y的正方形,丙种纸片是长为y,宽为x的长方形，并用甲种纸片一张,乙种纸片一张,丙种纸片两张拼了如图2所示的大正方形。
②利用①中的等式解决问题:若x+y=8,x2+y2=40,则xy的值为。
[拓展探究]
若x满足(20-x)(x-30)=10,求(20-x)2+(x-30)2的值
我们可以作如下解答:
设a=20-x,b=x-30,则(20-x)(x-30)=ab=10，a+b=(20-x)+(x-30)=20-30=-10,
所以(20-x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=(-10)2-2×10=80
(2)①若(4-x)x=5,则(4-x)2+x2=；
②若(4-x)(5-x)=8,则(4-x)2+(5-x)2=，
[实际运用]
(3)如图3,将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上,重叠部分LFKD是一个长方形,AL=8,CK=12.沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分,若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形,且它们的面积之和为400,求长方形DMH的面积
(1) ①用两种不同方式表示阴影部分的面积：直接法：x2+y2；间接法：(x+y)2-2xy；
即x2+y2=(x+y)2-2xy。
②利用①中的等式x2+y2=(x+y)2-2xy，已知x+y=8,x2+y2=40，求xy的值。
因为x2+y2=(x+y)2-2xy，所以40=82-2xy，解得xy=12
[拓展探究]
若x满足(20-x)(x-30)=10,求(20-x)2+(x-30)2的值
将等式x2+y2=(x+y)2-2xy中单项式x、y变成多项式(20-x)、(x-30)，再使用换元法将多项式(20-x)、(x-30)换成单项式a、b，即设a=20-x,b=x-30,
则(20-x)(x-30)=ab=10，a+b=(20-x)+(x-30)=20-30=-10,
所以(20-x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=(-10)2-2×10=80
同理：①若(4-x)x=5,则(4-x)2+x2=；
换元法：
设(4-x)=m，则(4-x)x=mx=5,m+x=(4-x)+x=4,
所以(4-x)2+x2=m2+x2=(m+x)2-2mx=42-2×5=6;
进一步变化：
②若(4-x)(5-x)=8,则(4-x)2+(5-x)2=，
换元法：
设4-x=m、5-x=n，则(4-x)(5-x)=mn=8
观察a+b=(20-x)+(x-30)=20-30=-10,m+x=(4-x)+x=4，发现两项相加消去了字母x，而本题中m+n=(4-x)+(5-x)=9-2x，未消去x，欲消去x则需要m-n=(4-x)-(5-x)=-1，
在使用(a-b)2=a2-2ab+b2的变形式a2+b2=(a-b)2+2ab运算。
即m2+n2=(m-n)2+2mn=(-1)2+2×8=17.
[实际运用]
设正方形ABCD的边长为x，则正方形ELDN的边长为(x-8)，正方形DKGM的边长为(x-12)，长方形MHND的长为(x-8)，宽为(x-12)。
由题意可知：将题转化为已知(x-8)2+(x-12)2=400，求(x-8)(x-12)的问题：
换元法设x-8=a，x-12=b，
(x-8)2+(x-12)2=a2+b2=400,a-b=(x-8)-(x-12)=4，
由a2+b2=(a-b)2+2ab得400=42+2ab，解得ab=192
即(x-8)(x-12)=192