勾股定理是初等几何中最精彩、最著名和最有用的定理之一关于这个定理的起源有各种说法.
西方人认为应归功于毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580-前500年），并将此定理称为“毕达哥拉斯定理”，将其叙述为：“在任何直角三角形中，斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和."并把它列为数学史上第一个真正重要的定理，数学史上的里程碑。
据说毕氏为了表示感激，曾对神贡献了一百头牛，对此，古代诗人夏米梭写了如下十四行的赞美诗：
是他一位病弱的人，
最早认识了永存的真理.
毕达哥拉斯定理，
它亘古及今，代代相继.
感谢神灵的启示，
你奉了丰盛的圣祭.
把一百头活生生的公牛
赶进了圣光祥云之巅.
自真谛出现之日，
从此，
公牛不断地嘶叫.
嘶叫声无损真理的光明，
面对着毕氏的出现，
公牛只能闭目颤栗。
如在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和运用勾股定理，美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。
通过20世纪对于在美索不达米亚出土的模形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。
古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。 古埃及人对勾股定律的最大使用在于其精美的雕塑和绘画作品中。
一座位于卢克索的贵族墓穴揭示了答案，这个贵族由于生前受法老赏识而有钱建造自己精美的墓穴，可法老一死，还未完工的墓穴被迫停止，于是，造墓工人留下的未完工痕迹就揭示了古埃及人如何作画和雕塑。
这幅未完工的壁画显示，原来古埃及画师在画壁画前都要先用红线描绘长方形网格，所有的绘画都在网格的基础上完成，所以古埃及人的绘画和雕塑尺寸极为准确和对称。
在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周牌算经》，其中第一章记述了西周开国时期（约公元前1000年）商高对于周公姬旦的回答：“故折矩以为勾广三、股修四、径隅五。”即“勾三、股四、弦五”.还有系统总结我国先秦到西汉初年数学成就的著作《九章算术》“勾股”中，从第1题到第14题都是运用这个定理解决的实用问题.因此，我们又把这个定理称为“勾股定理”或“商高定理”.
2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》。中国著名数学家华罗庚曾建议用用一幅反映勾股定理的数学形关系图来作为与“外星人”交谈的语言。由此可见它在人类文明史中的地位。
在印度的某些古代书籍中，也出现了这个定理其年代至少也可追溯到毕达哥拉斯时代。
1.勾股定理对角的推广——余弦定理
勾股定理之所以称得上是初等几何最精彩、最著名、最有用的定理之一，原因之一是它有各种推广。
勾股定理推广：在△ABC中，三边长分别是a,b,c其中c是最长边。
勾股定理是对直角三角形而言的，对任意三角形，则有如下定理：“在一个三角形中，与钝角（锐角）相对的边上的正方形，等于其他两边上的正方形之和，加上（减去）这两边中任意一边与另一边在它上面的投影之积的二倍."
用图形和式子描述就是：
这就是著名的余弦定理.它对解三角形有广泛应用.也是勾股定理在角上的一个很好的推广.
2.勾股定理对边、角的联合推广
在古希腊时代，亚历山大里亚的帕普斯（Pappus，大约公元前300年）在他的《数学汇编》（Mathematical Collection）一书的第4卷中给出了一个令人注目的关于勾股定理的推广，内容是这样叙述的：“设ABC是任意三角形，CADE和CBFG是在两边CA和CB卜侧所画的任何两个平行四边形，设DE和FG相交于点H，作AL和BM与HC平行且相等。这时，平行四边形ABML的面积等于平行四边形CADE和CBFG的面积之和."（图1）
此定理的证明并不难.
因为CE∥AD，AL∥CH, 所以△ADU≌△CEH.
又UA=HC=AL从而有四边形的面积
3.勾股定理向三维空间推广
在空间中，假设有一个长方体，它的长、宽、高分别是a，b，c，体对角线的长度为d，那么，有：
直角棱锥定理：如上图所示，设顶角D所对的三角形的面积为d，与D相邻的三个侧面三角形的面积分别是a，b，c（分别与A，B，C相对），那么，我们有下面公式成立：
即直角棱锥底面面积的平方等于三个侧面面积的平方和。
这个定理的叙述是不是与勾股定理很类似，并且，这个公式是不是与勾股定理公式也很类似！
证明不难，如下图所示，设AD=p，BC=q，CD=r。作DE⊥AC于E，连接BE，设BE=h。于是有
我们容易证明在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两个直角边上所画的与其相似的图形的面积之和.”
如果把此图形占据XOY平面，建立空间直角坐标系OXYZ.以平面图形视为底面，再做与此面平行的平面，在该平面上做与底完全相同的图形，连结两平面的轮廓线作为母线，于是便得三个柱体，由斜边产生的柱体的体积，必等于由两条直角边产生的柱体的体积之和.由于两平行平面间柱体（棱柱，圆柱或其他柱体）的体积等于底面积乘以高.不管是直柱体还是斜柱体，结论都是对的.这个推广，是极其简单的推广.
下面有一个对帕普斯给出的对“勾股定理对边、角的联合推广”的进一步的推广，即三维推广：
“如图2所示，设D-ABC是一个任意四面体.ABD-EFG，BCD-HIJ和CAD-KLM是在D-ABC的三个面ABD，BCD和CAD的外侧所作的任意三个三棱柱.设Q是平面EFG，，HIJ和KLM的交点，作三棱柱，ABC-NOP，使它的三个棱AN，BO和CP与QD平行且相等.这时，ABC-NOP的体积等于ABD-EFG，BCD-HIJ，CAD-KLM的体积之和."
本定理的证明与帕普斯关于“勾股定理对边、角的联合推广”定理的证明类似，这里不再熬述了，有兴趣的读者请自行写下面再给出一个在三维空间的与勾股定理相类似的一个定理.这个定理称为德加定理：“直角四面体的底面面积的平方，等于其他三个面的面积的平方之和.”所谓直角四面体，就是在四面体中，构成某一个三面角的三个平面角都是直角.习惯上就把这个三面角称为四面体的直角，与这个直角相对的面，称为直角四面体的底面.
该定理是德加（J.P.de Gua de Malves 1712-1785）于1783年向巴黎科学院提出的.其实，R.笛卡儿（Descartes，1596-1650）和与他同时代的J.福尔阿巴（Faulhabar，1580-1635）早已知道.该定理是坦索（Tinseau）于1774年向巴黎科学院提出的更一般的定理的一个特殊情况。
综上，我们可以将关于勾股定理的推广归纳为如图4所示。