大家好！本文和大家分享一道初中数学竞赛题：分解因式x^5+x+1。这道题的难度非常大，曾经在拿到班上让同学们做了，全班50人甚至没有一人做对，因此被他们称为“地狱”难度的因式分解题目。接下来我们一起来看一下这道高难度的竞赛题。
在初中阶段的教材上，因式分解的常用方法有提公因式法、公式法、十字相乘法等。
提公因式法：ma+mb=m(a+b)；
公式法：a^2±2ab+b^2=(a±b)^2；
a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
十字相乘法：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
不过，在实际解题过程中，还会用到分组分解法、拆项法、添项法、双十字相乘法、试根法等方法。
回到题目，很明显可以看出，提公因式法、公式法、十字相乘法等都很难分解出来。另外，试根法也很难找到对应方程的根，因为试根法常用的根有±1，±2，代入检验并不是对应方程的根。所以，试根法对这道题也是行不通了。
那么，这道题究竟该怎么分解呢？我们需要先了解一下因式分解的本质。
因式分解是将一个多项式分解成几个更简单的整式相乘的形式。通过因式分解，可以更加直观的了解这个多项式的组成情况。打个比方，如果把多项式看成完整的人体，那么因式就是组成人体的组织。通过因式分解，我们能更深入地研究多项式的相关性质。
在本题中，我们可以先对最复杂的那个单项式进行处理，也就是x^5。因为x^5=x·x^4=x^2·x^3，所以可以从这两个方面进行尝试。
首先看x^5=x·x^4的时候。此时，最容易想到的无疑就是和后面的x组成一组，提公因式x，得到x(x^4+1)+1，但是后面很难继续进行分解，即使将x^4+1分解成(x^2+1)^2-2x^2，还是不能继续分解。所以这个方法也不行了。
再看x^5=x^2·x^3的情况。此时，出现了x^3的形式，如果把1看成1^3，那么就出现了两个立方，所以可以考虑立方和或者立方差公式进行分解。
如果凑成立方和，那么需要先加x^2，再减x^2。加的x^2与x^5作为一组，提出x^2，即x^5+x^2-x^2+x+1=x^2(x^3+1)-x^2+x+1=x^2(x+1)(x^2-x+1)-(x^2-x-1)。分解到这一步后，后面没办法继续分解了，所以也是不行的。
如果配成平方差，那么就要先减x^2，再加x^2。
即x^5-x^2+x^2+x+1
=x^2(x^3-1)+x^2+x+1
=x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)。
然后再提公因式即可得到最后的答案。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？