几何中的基本图形就是线段。与线段有关的问题主要是考查数量关系与位置关系。
线段的数量关系的问题比较多，有2条、3条或者4条之间的关系。
简单的就是相等、倍数，乘积或者勾股、截长补短等等各种关系。方法考查相似、全等、勾股等居多。
其中以下地区都有涉及：
2019•泰安、2019•怀化、2019•大庆
2019•柳州、2019•兰州、2019•广元
2019•苏州、2019•天门、2019•岳阳
2019•泰州、2019•聊城、2019•广东
2019•荆门、2019•孝感、2019•常德
2019•黄石、2019•河池、2019•毕节
2019•宜昌、2019•宜昌、2019•深圳
2019•广西、2019•黄石、2019•杭州
2019•成都、2019•湘西、2019•哈尔滨
【中考真题】
一、3、4条线段的比例或乘积关系
1．（2019•泰安）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图，证明四边形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如图，求证：AE•AB＝DE•AP；
【分析】
题（1）比较基础，主要是证明菱形的四条吧相等来证明菱形；
题（2）设计4条线段的乘积关系，首先想到的就是转化为比例式，再找三角形相似。
如果AE与DE组成三角形，那么AB与AP也组成三角形。
AE•AB＝DE•AP
发现两个三角形并不相似。
如果AE与AP组成三角形，则AB、DE无法组成三角形。
AE•AB＝DE•AP
因此题目暗示需要进行转化才可以。
由题目中AE⊥DE，PE⊥CE，可以得到∠AEP=∠DEC。
观察易得△AEP∽△DEC。
所以把AB用CD来代换即可。
【答案】（1）证明：如图中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠BAE ∠EAD＝90°，∠EAD ∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∵∠AGP＝∠BAG ∠ABG，∠APD＝∠ADE ∠PBD，∠ABG＝∠PBD，
∴∠AGP＝∠APG，
∴AP＝AG，
∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，
∴PA＝PF，
∴PF＝AG，
∵AE⊥BD，PF⊥BD，
∴PF∥AG，
∴四边形AGFP是平行四边形，
∵PA＝PF，
∴四边形AGFP是菱形．
（2）证明：如图中，
∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠EAD ∠ADE＝90°，∠ADE ∠CDE＝90°，
∴∠EAP＝∠EDC，
∴△AEP∽△DEC，
∴AE/DE=AP/DC，
∵AB＝CD，
∴AE•AB＝DE•AP；
【总结】
绝大多数的乘积比例问题都是转化为相似来求解。常常需要等量代换进行转化。
2．（2019•广元）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB=1/2，求PA的长；
（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（3）AB²＝4OE•OP
如图2，∵PC切⊙O于C，
∴∠OCP＝∠OEC＝90°，
∴△OCE∽△OPC
∴OE/OC=OC/OP，即OC2＝OE•OP
∵OC=1/2AB
∴(1/2 AB)²=OE⋅OP
即AB²＝4OE•OP．
3．（2019•泰州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为 ．
【答案】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，
则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，
∵PA⊥BC，
∴∠PAC＝90°，
∴∠PAC＝∠PBD，
∴△PAC∽△PBD，
∴PB/PA=PD/PC，
∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，
∴x/3=10/y，
∴xy＝30，
∴y=30/x，
故答案为：y=30/x．
4．（2019•哈尔滨）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）
A．AM/BM=NE/DE
B．AM/AB=AN/AD
C．BC/ME=BE/BD
D．BD/BE=BC/EM
【答案】解：
∵在▱ABCD中，EM∥AD
∴易证四边形AMEN为平行四边形
∴易证△BEM∽△BAD∽△END
∴AM/BM=NE/BM=DE/BE，A项错误
AM/AB=ND/AD，B项错误
BC/ME=AD/ME=BD/BE，C项错误
BD/BE=AD/ME=BC/ME，D项正确
故选：D．
三、证明线段相等
5．（2019•聊城）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．
（1）求证：EC＝ED；
∴OC⊥CE，
∴∠OCA ∠ACE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACE ∠A＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ODA ∠A＝90°，
∵∠ODA＝∠CDE，
∴∠CDE ∠A＝90°，
∴∠CDE＝∠ACE，
∴EC＝ED；
备注：证明等腰
6．（2019•广东）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；
7．（2019•河池）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．
（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；
【答案】（1）证明：∵AE＝DC，
∴(AE) ̂=(DC) ̂，
∴∠ADE＝∠DBC，
在△ADE和△DBC中，{■(∠ADE=∠DBC&@∠E=∠BCD&@AE=DC&)┤，
∴△ADE≌△DBC（AAS），
∴DE＝BC；
备注：全等
三、线段倍数关系
8．（2019•毕节市）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B．
（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；
【答案】解：（1）∵AB是直径
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC
∵PC是⊙O切线
∴∠BCP＝∠A＝30°，
∴∠P＝30°，
∴PB＝BC，BC=1/2AB，
∴PA＝3PB
9．（2019•黄石）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB=√3：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH EH的值最小，此时BH/CF=（）
A．√3/2B．(2√3)/3C．√6/2D．3/2
【答案】解：如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD=√3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，tan∠ABD=AD/AB=√3/1，
∴BD＝AC=√(AB^2 AD^2 )=2a，∠ABD＝60°，
∴△ABE、△CDE都是等边三角形，
∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．
∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，
∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA=√3a．
在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，
∴GM=1/2BG＝1，BM=√3GM=√3，
∴DM＝BD﹣BM＝2a-√3．
∵矩形ABCD中，BC∥AD，
∴△ADM∽△GBM，
∴AD/BG=DM/BM，即(√3 a)/2=(2a-√3)/√3，
∴a＝2√3，
∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2√3，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4√3．
易证∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，
∴△ADF是等边三角形，
∵AC平分∠DAF，
∴AC垂直平分DF，
∴CF＝CD＝2√3．
作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH EH＝B′E，值最小．
如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2√3），B′（3，﹣2√3），E（0，√3），
易求直线B′E的解析式为y=-√3x √3，
∴H（1，0），
∴BH=√((3-1)^2 (2√3-0)^2 )=4，
∴BH/CF=4/(2√3)=(2√3)/3．
故选：B．
（1）若∠BAC＝60°，
求证：OD=1/2OA．
【答案】解：（1）连接OB、OC，
则∠BOD=1/2∠BOC＝∠BAC＝60°，
∴∠OBC＝30°，
∴OD=1/2OB=1/2OA；
备注：特殊的三角形30°，考虑倍半。
四、垂径定理
11．（2019•成都）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．
（1）求证：弧AC=弧CD；
【答案】证明：（1）∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB
∵OC∥BD
∴∠OCB＝∠CBD
∴∠OBC＝∠CBD
∴弧AC=弧CD
五、线段和差关系
12．（2019•宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．
（1）填空：点A在（填“在”或“不在”）⊙O上；当(AE) ̂=(AF) ̂时，tan∠AEF的值是；
（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE DH；
【答案 】（2）∵EF⊥FH，
∴∠EFH＝90°，
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF ∠AFE＝90°，
∠AFE ∠DFH＝90°，
∴∠AEF＝∠DFH，
又FE＝FH，
∴△AEF≌△DFH（AAS），
∴AF＝DH，AE＝DF，
∴AD＝AF DF＝AE DH；
13．（2019•宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．
（1）填空：点A在（填“在”或“不在”）⊙O上；当(AE) ̂=(AF) ̂时，tan∠AEF的值是；
（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE DH；
（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE DH；
【答案】（3）延长EF交HD的延长线于点G，
∵F分别是边AD上的中点，
∴AF＝DF，
∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，
∴△AEF≌△DGF（ASA），
∴AE＝DG，EF＝FG，
∵EF⊥FH，
∴EH＝GH，
∴GH＝DH DG＝DH AE，
∴EH＝AE DH；
14．（2019•常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．
（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；
（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE PF＝BM；
∴BM＝NC，
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CMB，
∴PE/BM=CP/CB，
∵PF∥AC，
∴△BFP∽△BNC，
∴PF/NC=BP/BC，
∴PE/BM PF/BM=CP/CB BP/CB=1，
∴PE PF＝BM；
