輕鬆學點微積分

《輕鬆學點微積分》書評

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書評緣起

去年5月份，筆者得到了科學出版社張中興編輯（老師）的贈書《輕鬆學點微積分》。出於對書名的好奇心，筆者一口氣就讀完了這本圖書，並且自認為讀起來的確很“輕鬆”。微積分是大學理工科專業必學的一門科目，這樣的課程也稱為“高等數學”。所謂微積分，包含微分學和積分學，在處理很多現實的問題上起到了良好的作用。因此，學好微積分，對於理工科專業的同學來説非常必要。

毫無疑問，市面上顯然有各類各樣的介紹微積分方面的教材和科普書籍。那麼，很自然的問題是，為什麼本書的作者卓永鴻老師要寫作這樣一本“學起來輕鬆點”的微積分教材呢？

關於這個問題，作者曾在前言部分中發表了這樣的觀點：

“筆者深深覺得，許多人在微積分這門學科的表現之所以不夠理想，往往並非天分不佳或學習態度不良，而是沒有抓住微積分各主題中的核心精神，停留在抽象符號操作，於是不得其門而入。”

的確，正如作者所説，當下很多微積分教材往往注重於數學符號與公式的簡單羅列，而未能將微積分中一些定理較為直觀地展現給讀者。長久下來，很多人對微積分感到深惡痛絕，甚至於説一輩子都不想看到牛頓和萊布尼茲的求導符號。

然而，要解決這一問題並非那麼容易的，本書作者正是藉助自己對微積分“淺顯易懂”的闡述方式來試圖緩解這一糟糕狀況。

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本書特點

細品本書，不難發現該書有如下幾大特點：

（1）結合數學史介紹微積分

當下不少微積分教材主要在闡述數學結果本身，因此多是以“定義-定理-例題-習題”這樣的模式展開介紹，很難吸引讀者的閲讀興趣。本書的特點之一是穿插介紹數學史，通過數學史的介紹以達到數學學科與歷史學科的有效融合。值得特別注意的是，本書的每一章節最開始部分都會放置數學家或者其他領域大家的一段名言，比如本書第二章“微分學”就有哲學家伏爾泰關於微積分的深刻觀點：

“微積分是精確地計算和度量某種無從想象其存在的東西的藝術。”

儘管在很多人看來，數學家的名言名句並不能幫助自己理解那些看起來枯燥無味的數學公式，然而，需要引起格外關注的是，這些領軍人物的看法往往可以幫助自己較快地理解一門學科的本質內涵。當然，在這本書中，通過在每一章節前放上名言名句，可以有效地奠定本書的主題基調（沒錯，你就是在讀一本微積分書籍！）。

除此之外，作者在本書中花了較大的筆墨闡述了一些關於微積分的數學史料，比如歷史上的牛頓與萊布尼茲關於微積分的版權之爭、最速降線問題、洛必達與伯努利的故事等。即便這些都是微積分裏面的經典事實，然而作者卻不落俗套，用自己獨有的風趣幽默語言將這些陳年往事如數家珍，讓筆者認為眼前正是有一位有趣的數學老師在教微積分史。此外，細讀作者的文字可以感受到作者本人具有較為濃厚的台灣腔（比如書中第174頁中間文字“其實這兩種拼法在法文中是等價的，都可以啦！”），所以可以理解為是“台灣特色”的微積分史。

（2）詳細展現解題思路以處理問題

微積分的本質還是微分學和積分學理論。其中，微分學部分中涉及到導數、可微等概念，當中涉及到的數學大定理包括有：費馬定理、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。這些數學大定理也幫助了廣大學習微積分的學友瞭解了國外的一批數學家：費馬、拉格朗日和柯西等。積分學理論部分中主要涉及的是黎曼積分，其區別於數學系實變函數課程中的勒貝格積分。

數學理論的把握主要是在數學分析中體現，而本書的目的是輕鬆學點微積分，自然要以數學計算作為主要講解目標。比如，如何計算一個函數的導數？如何計算一個函數的不定積分和定積分？如何計算一個二重和三重積分？諸如此類，這些都是微積分教學中要解決的關鍵問題，理論證明則要處於次要地位。

本書還有一個特點是：作者用自己的通俗語言和思維方式展現瞭解題的關鍵思路。

比如作者在證明函數極限問題時，一步步介紹如何運用數學技巧來達到最終目的，比如有的習題需要分子有理化，有的習題需要用到三角不等式。比如在書中例1.4.12中，作者寫下了這樣一段話：

“接下來用一招，看清楚了，這叫三角不等式。”

不知道的讀者還以為自己誤入武俠小説之中，怎麼還有招數一説？其實，數學圈本身也可以看做是一個小江湖，在這個江湖裏做題用的招數也就是數學裏面的武功秘籍。筆者曾經有一個不恰當的觀點：“數學技巧猶如花拳繡腿，數學思想猶如內功心法”。如果用在這裏，那麼三角不等式的確算是一個招式，只不過是簡單的花拳繡腿罷了。

（3）善於用圖直觀化數學概念

初翻本書，很難不被作者所製作的精美幾何圖象所吸引。在微積分中，形式化的符號運算難免讓人們產生厭煩情緒，極少有人願意一直與數學公式打交道。事實上，如果瞭解過生物學科的期刊論文，不難看出它們的文章都是“看圖説話”的。數學其實本來也應該如此。據説數學家之間討論學術問題往往是先畫一個圖，然後根據圖再來補上相應的數學描述。

在這本書中，令人驚豔的圖形自然是對二、三維幾何圖象的繪製。尤其是，在遇到二重積分與三重積分的問題時，如果有一個較為直觀的幾何圖象幫助我們理解問題，那麼就會達到化繁為簡的目的。實際上，本書中所帶有的插圖何其多也，其所體現的直觀理解數學概念的功效也自不必説。

（4）

巧用LaTex精心排版書籍

筆者初拿到該書不久，就對本書的排版感到賞心悦目。在驚訝作者的排版功底之餘，本書的編輯張中興老師告訴筆者：“作者卓永鴻老師是一位tex排版高手，是她目前所認識的第二個tex這麼厲害的大佬人物。”此外，張老師也補充説道：“除了不能畫圖嘩啦嘩啦超級迅速外，基本上就是課堂筆記老師隨講隨記的排版速度”。

筆者雖未見過卓永鴻老師，但是通過看這本書的排版以及張中興老師的描述，斷定所言肯定非虛（畢竟數學人嚴謹！）。

本書在LaTex排版方面的確是很見功力，非一般的LaTeX玩家可以與之相比。一個顯著的事實是，作者在本書的解題過程部分中穿插了很多箭頭，以及在各種定義、定理和性質部分的排版上別具一格。筆者認為，國內很多數學書籍的排版勢必要向該書學習。

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寫在最後

關於《輕鬆學點微積分》這本書，所羅列的特點僅是書中優點的一部分，其他優點有待讀者自己去挖掘發現。關於本書的缺點之處，其中之一自然是本書沒有繼續介紹曲面積分和曲線積分理論。本書全書分為十二章，然而第12章僅介紹二、三重積分，因此在筆者看來這還不能完全滿足想要學習微積分的同學。

筆者亦是一名數學系學生，寫文評價數學老師的書籍多少有點不合適。因此，這裏借用上海師範大學數學系陳躍老師曾告誡筆者的一句話結尾：

“讀一本書要將自己想象成作者本人，如果是你來寫你能寫得出來嗎？為什麼要這樣寫？”

4

編輯小語

小朱老師太自謙了，小朱老師是同濟大學數學科學學院在讀研究生，感謝他學習科研之餘為“微積分小白書”傾情奉獻的書評，下面把《輕鬆學點微積分》詳細的書籍信息展現如下，獻給喜歡微積分喜歡學習的你~

內容簡介

輕鬆學點微積分

作者：卓永鴻

一本輕鬆有趣的微積分讀物

適讀人羣 ：對微積分感興趣、想要微積分入門的人，想增強數學素養的文科生，正在修課、準備考試而感到微積分學習有困難的同學，其他想要了解微積分的讀者。

這是一本教讀者微積分輕鬆入門的讀物，也是一本輕鬆簡單適合自學的書。《輕鬆學點微積分》語言輕鬆幽默，通過大量貼切具體的圖形圖像儘可能生動地介紹微積分各個主題概念的由來，將中學數學與高等數學完美銜接，中間穿插數學史還原數學思想的產生思路，還有常用的高等數學符號趣談加深讀者學習印象，瞭解微積分發展的來龍去脈。作者總結多年微積分教學經驗，用盡可能淺顯易懂的語言，總結學習方法、歸納實用規律，指出常見錯誤和學生學習盲點，提供詳細的解題技巧，中間還穿插一題多解拓寬視野，助力讀者輕鬆快樂地從更高角度掌握微積分具體知識點，讓讀者對微積分有比較清楚的認知。特別地，本書對中國古代數學和古代數學思想多有介紹，讓讀者在輕鬆入門微積分的過程中也能體會到中國古代先哲對數學的貢獻。

本書目錄

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目錄

第1章 極限與連續 1

1.1 微積分的起源 1

1.2 數列的極限 5

1.3 連續函數與函數的極限 16

1.4 極限的嚴格定義 30

1.4.1 極限的定義 30

1.4.2 用極限定義作證明 35

1.5 連續函數的性質 40

1.6 自然指數與自然對數 45

1.6.1 自然指數 45

1.6.2 自然對數 48

1.6.3 利用e的定義解極限 49

1.6.4 e之趣談 52

1.7 等價無窮小代換 56

1.7.1 動機介紹 56

1.7.2 無窮小的分階 57

1.7.3 等價無窮小代換 58

1.8 漸近線 63

1.8.1 水平漸近線 64

1.8.2 鉛直漸近線 66

1.8.3 斜漸近線 67

第2章 微分學 73

2.1 導數的定義 73

2.2 導數的性質與冪函數的導函數 80

2.3 三角函數與指對數函數的導函數 91

2.4 高階導數 96

2.5 鏈式法則 99

2.6 單側導數 103

2.7 隱函數的求導 111

2.8 反函數的求導 117

2.9 取對數求導法 122

2.10 參數式求導 125

2.11 微分 131

第3章 微分學的應用 135

3.1 切線與法線 135

3.2 變率問題 140

3.3 函數的單調性與凹凸性 143

3.3.1 函數的單調性 143

3.3.2 函數的凹凸性 147

3.4 極值問題 153

3.4.1 一階檢定法 155

3.4.2 二階檢定法 157

3.5 繪製函數圖形 160

3.6 微分中值定理 165

3.7 洛必達法則 170

3.7.1 洛必達法則的使用介紹 170

3.7.2 洛必達法則的誤用探討 176

第4章 積分學 181

4.1 積分的定義 181

4.2 積分的基本性質 191

4.3 微積分基本定理 196

4.3.1 微積分基本定理第一部分 196

4.3.2 微積分基本定理第二部分 200

4.4 不定積分 202

4.5 曲線間所圍面積 206

第5章 積分技巧 211

5.1 分部積分 211

5.2 變量代換 217

5.2.1 第一換元法 217

5.2.2 第二換元法 223

5.3 三角代換 225

5.4 有理函數的積分：部分分式法 232

5.5 三角函數的積分 243

5.5.1 三角函數的冪次 243

5.5.2 含有sin(x)及cos(x)的有理式 252

5.5.3 巧妙的換元 254

5.6 反常積分 256

5.6.1 第一類反常積分(積分範圍無界) 256

5.6.2 第二類反常積分(函數無界) 259

5.6.3 反常積分的斂散性 261

5.7 積分技巧雜談 265

第6章 積分學的應用 276

6.1 曲線弧長 276

6.2 求體積 283

6.3 旋轉體體積 287

6.3.1 圓盤法 287

6.3.2 剝殼法 291

6.4 旋轉體的表面積 295

第7章 特殊函數 299

7.1 雙曲函數 299

7.1.1 雙曲函數的定義 299

7.1.2 雙曲函數的基本公式 302

7.1.3 雙曲函數的導函數 306

7.1.4 反雙曲函數 306

7.1.5 反雙曲函數的導函數 308

7.1.6 雙曲函數在大一微積分中的應用 309

7.2 伽馬函數 310

第8章 無窮級數 313

8.1 無窮級數的收斂與發散 313

8.2 積分審斂法 321

8.3 比較審斂法 326

8.4 比值審斂法與根值審斂法 331

8.5 交錯級數審斂法 335

8.6 條件收斂與絕對收斂 341

8.7 冪級數 349

第9章 泰勒展開 356

9.1 泰勒展開：多項式逼近函數 356

9.1.1 泰勒展開式 356

9.1.2 間接展開法 360

9.2 多項式逼近的應用 368

9.3 泰勒定理與餘項 373

9.4 冪級數的和函數 381

第10章 極座標 390

10.1 極座標簡介 390

10.2 極座標中的常見曲線 399

10.3 極座標求面積 402

10.4 極座標求弧長 409

第11章 多元函數的微分學 413

11.1 多元函數簡介 413

11.2 多元函數的極限 416

11.3 偏導數 422

11.4 全微分 429

11.4.1 通俗不嚴謹的討論 429

11.4.2 理論探討 431

11.5 多元函數的鏈式法則 434

11.6 多元函數的隱函數求導 439

11.7 梯度、方向導數與切平面 443

11.7.1 梯度的定義 443

11.7.2 方向導數 443

11.7.3 切平面 449

11.8 多元函數的極值問題 450

11.9 條件極值：拉格朗日乘數法 456

第12章 重積分 466

12.1 二重積分 466

12.2 三重積分 480

12.3 重積分的換元法 488

12.4 極座標代換 499

12.5 圓柱座標代換 504

12.6 球座標代換 508

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來源：科學出版社數學教育微信公眾號

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