已知f(x)+2f(-x)=x,求f

主要內容

通過抽象函數換元、函數代換法，介紹已知f(x)+2f(-x)=x,求函數f(x)表達式的具體步驟。

思路一：抽象函數換元

設-x=t,則x=-t，代入已知條件得：

f(-t)+2f(t)=-t,

2f(t)+f(-t)=-t,

由於函數自變量可以用任意符號表示，

同時連立已知條件，得方程組：

2f(x)+f(-x)=-x……(1)

f(x)+2f(-x)=x……(2)

方程(1)*2-(2)，得：

(4-1)f(x)=-2x-x,

(2-1)f(x)=-x，

所以f(x)=-x。

思路二:函數代換法

設f(x)=mx+n,則：

f(-x)=-mx+n,代入已知條件得：

(mx+n)-2mx+n=x

(-m-1)x+2n=0,

方程對任意的x都成立，則：

-m-1=0,且2n=0。

即：m=-1,n=0,

所以f(x)=-x。