想要找幾道套路題有時候並不容易。今年壓軸題普遍降低難度的情況下，有挺多熟悉的模型套路題。
下面就介紹一道貴州省地區的數學壓軸題。
【中考真題】
（2020·安順）如圖，四邊形ABCD是正方形，點O為對角線AC的中點．
（1）問題解決：如圖，連接BO，分別取CB，BO的中點P，Q，連接PQ，則PQ與BO的數量關係是 ，位置關係是 ；
（2）問題探究：如圖，△AO'E是將圖中的△AOB繞點A按順時針方向旋轉45°得到的三角形，連接CE，點P，Q分別為CE，BO'的中點，連接PQ，PB．判斷△PQB的形狀，並證明你的結論；
（3）拓展延伸：如圖，△AO'E是將圖中的△AOB繞點A按逆時針方向旋轉45°得到的三角形，連接BO'，點P，Q分別為CE，BO'的中點，連接PQ，PB．若正方形ABCD的邊長為1，求△PQB的面積．
題（1）只需寫出結論，觀察即可；
題（2）通過觀察，易得△PQB為等腰直角三角形，與題（1）的結論類似。
那怎麼證明呢？
點P、Q都是中點，那麼就可以考慮與中點有關的輔助線。
1箇中點的時候可以考慮倍長；
2箇中點的時候還可以考慮中位線。
如上圖，分別延長EO′與BP並交於點R。易得PQ是△O′RB的中位線。
由於ER=CB=AB，所以得到O′R=O′B，進而可以得到結論。
當然，還可以進行上圖的構造，方法也是類似。
關鍵點在於得到CR=O′E=AO′，所以得到BR＝BO′。
題（3）的圖其實還是與題（2）有聯繫，只是條件與結論稍作調整。
【答案】解：（1）∵點O為對角線AC的中點，
∴BO⊥AC，BO＝CO，
∵P為BC的中點，Q為BO的中點，
∴PQ∥OC，PQ=1/2OC，
∴PQ⊥BO，PQ=1/2BO；
故答案為：PQ=1/2BO，PQ⊥BO．
（2）△PQB的形狀是等腰直角三角形．理由如下：
連接O'P並延長交BC於點F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵將△AOB繞點A按順時針方向旋轉45°得到△AO'E，
∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，
∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，
又∵點P是CE的中點，
∴CP＝EP，
∴△O'PE≌△FPC（AAS），
∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，
∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，
∴BO'＝BF，
∴△O'BF為等腰直角三角形．
∴BP⊥O'F，O'P＝BP，
∴△BPO'也為等腰直角三角形．
又∵點Q為O'B的中點，
∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，
∴△PQB的形狀是等腰直角三角形；
（3）延長O'E交BC邊於點G，連接PG，O'P．
∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，
∴∠ECG＝45°，
由旋轉得，四邊形O'ABG是矩形，
∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，
∴△EGC為等腰直角三角形．
∵點P是CE的中點，
∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，
∴△O'GP≌△BCP（SAS），
∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，
∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，
∴∠O'PB＝90°，
∴△O'PB為等腰直角三角形，
∵點Q是O'B的中點，
∴PQ=1/2O'B＝BQ，PQ⊥O'B，
∵AB＝1，
∴O'A=√2/2，
∴O'B=√(O'A²+AB² )=√((√2/2 )²+1² )=√6/2，
∴BQ=√6/4．
【舉一反三】
