連綿起伏的拋物線圖象，到底隱藏着多少玄妙？

     二次函數是初中數學的重點和難點，是中考必考內容，可以跟方程、幾何等問題結合。很多時候中考中最難的壓軸題都是以二次函數圖象為背景的綜合題。

    二次函數的圖象是連續的拋物線，通過具體的圖象可以推理出二次函數的某些性質，也可以判斷某些代數式的取值範圍。後者很多同學在初三經常接觸（2020的中考壓軸選擇題，見【中考真題考點】2020中考數學考試體會，我在考試現場），可能有點難度，下面小編舉幾個例子，説明這類題目的一些做法。

1

【分析解答】由拋物線圖象對稱軸為直線x=2,結合對稱軸與係數a、b的關係，不難有

從而（1）正確；關於（2）不等式左邊含有三個參數，但注意到拋物線圖象的對稱軸以及過定點（-1,0）我們可以得到兩個等式，從而能夠將三個參數化成一個，故可以這樣處理：

拋物線經過（-1,0）a-b+c=0,

將b=-4a代入整理得：c=-5a,

又拋物線開口向下，故a

因此8a+7b+2c

  =8a+7×（-4a）+2×（-5a）

  =-30a

 >，

故（2）正確；

（3）主要是考慮各點與對稱軸的距離並結合開口方向容易得到結果，因為點C距離對稱最近，故其相應函數值最大，因此該項錯；

由對稱軸及圖像與x軸一個交點（-1,0），可知另外一個交點為（5,0），故題設拋物線相應的方程兩個根分別為：-1、5，

故

因此a(x+1)(x-5)=-3 兩根就是拋物線與直線 y=-3 兩個交點的橫座標，通過下圖

不難知道（4）正確；另外此題通過數形結合可以有另外的處理方式，a(x+1)(x-5)=-3即a(x+1)(x-5)+3=0，只需將拋物線向上移動3個單位後圖象與x軸的交點的橫座標就是 a(x+1)(x-5)=-3兩根，同學們可以自己試一試。

【分析解答】由圖象與x軸有兩個交點，則根判別式大於0，故正確；此題根據對稱軸x=-1可得：b=2a，建立兩個參數之間的關係，

由圖象可得：當 x=1 時，a+b+c

3b+2c=b+2b+2c=2a+2b+2c=2(a+b+c)

從而正確；

的不等式等價於4a-2b+c0，從而該項錯誤；另外也可 b=2a代入不等式或者求出另外一個交點的範圍，都可以解答該項，同學們不妨一試；

對稱軸是直線 x=-1，故當 x=-1時，二次函數取最大值a-b+c ，即對於任何不是 -1 的自變量 m ，其函數值一定小於 a-b+c，

即

因此正確。

3

【分析解答】本例子較為簡單，錯誤；可參照上例取最值情況，正確；而且拋物線的頂點只有一個，故的實數根只是 x=1 ，錯誤；

對於同樣可以藉助對稱軸消去一個參數，易知結果正確，也可以將原不等式等價變形，兩邊同時除以a(注意a

對於，可利用拋物線過定點（-1,0）以及對稱軸 x=1（此思路上面已經提及）得到c與a的關係式，

即 c=-3a ，

再結合圖象與y軸交點（0，c）範圍得到不等式組，

3≤c≤4，

即 3≤-3a≤4 ，

則正確。

4

   此題各項並不難，小編也把參考答案分享，除了單調性其它的幾乎上面的例子都有相應的思路。對答案劃黑線部分，同學們有什麼看法，小編認為答案這部分是錯誤的。

【分析解答】題中拋物線開口向下，有最大值，結合圖象當x＝2時，不管x為何值，函數值都是 4a+2b+c最大，因此當x＝-m時，

故正確。

從頂點的性質，正確是顯而易見的。我們在換個角度來證明它是正確的：

【分析解答】此題有別以上的地方是對稱軸不是一個確定的直線，只是給出一個範圍。錯誤，正確，都比較簡單，不再累述；可以等價變形，將不等式右邊移到左邊，然後再因式分解，

並結合

x=-1時，y=a-b+c>，

x=1時，y=a+b+c

可知此項正確；

對於，小編剛開始想到的是令

得到兩個函數值分別相加，可以整理出待求式子的範圍，但因圖象只是一個大概的範圍，或許也是小編水平有限，雖然可以大約知道正負，但無法精確反映，而某某幫令 x=-2時知其函數值小於0，小編也認為缺乏説服力，

對此我們試着從另外的角度出發。因為涉及的參數是a、c，因此可以考慮韋達定理，因對稱軸 x>-1 ，故

我們繼續嘗試改進，+後，我們知道拋物線與x軸另外一個交點在-3右側(也可以觀察圖象：對稱軸與拋物線與x軸必有兩個交點，其中已知的交點與對稱軸的距離不超過2，因此另外一個交點必定不超過-3)，

故當 x=-3 時，y=9a-3b+c0（3），

為消去 -3b，可以

令x=1得 y=a+b+c，

擴大3倍得3a+3b+3c（4），

（3）+（4）得

12a+4c=4（3a+c），

故3a+c0 。

最後我們再談一下否定的另外一個方法。

由於對稱軸 x>-1 ，得

故3a+c=a+2a+ca+b+c0。

説得不好的地方請指正！

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