數學家的成名之作歐拉用高超的數學技巧解決了著名的巴塞爾問題

被許多人認為是“自古以來最偉大的數學家”的德國數學家、天文學家和物理學家卡爾·弗里德里希·高斯曾經宣稱:

研究歐拉的著作永遠是瞭解數學的最好方法------卡爾·弗里德里希·高斯

本文將描述瑞士數學家萊昂哈德·歐拉如何解決著名的巴塞爾問題。歐拉是歷史上最偉大的數學家之一，他的文集有92卷之多。皮埃爾-西蒙·德·拉普拉斯宣稱歐拉對數學的影響，他説:

讀讀歐拉吧，他是我們所有人的導師------法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯

巴塞爾問題

1650年，意大利數學家皮耶特羅·門戈利首次提出了巴塞爾問題。1734年，歐拉解決了這個問題，並立即得到了認可。這個問題要解決的是自然數平方的倒數和:

許多有影響力的數學家試圖找到自然數平方倒數和的公式。微積分的兩位共同發明人約翰·沃利斯(John Wallis)和偉大的戈特弗裏德·萊布尼茨(Gottfried Leibniz)都曾嘗試過微積分，但都以失敗告終。歐拉在年輕時(28歲)就解出了這個問題，他解決這個問題的數學性質令數學界感到驚訝。他的第一個證明(他隨後提供了其他幾個證明)並不嚴格，但它的美、簡單和獨創性是驚人的。

歐拉傑出的見解是寫出sinc(πx)函數

上述函數的圖形就是：學過複變函數的人應該都很熟悉

為了更好的理解：現在我們考慮如下四次多項式，將其寫成根式解的形式

將表達式相乘，得到:

歐拉的策略是將同樣的展開應用於超越函數

超越函數

這類函數不滿足多項式方程，它指的是變量之間的關係不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函數。

指數函數、三角函數和對數函數是三個著名的例子。如下圖

sinc(πx)函數有以下根:

歐拉將sinc(x)寫成與上圖中f(x)相同的形式。使用基本的數學恆等式

由於方程sinc(πx)的每一個根都有一個對應的負根，所以他可以寫出:

下一步是將上式各項相乘，但這裏我們只關注二次項:如下圖

泰勒級數

泰勒級數是將函數表示為無窮項的和。每一項都是從單點上的函數的導數值計算出來的

增加泰勒級數的次數，它收斂於正確的函數。黑色的曲線代表sinx。其他曲線是泰勒近似，多項式的次數是1,3,5,7,9,11，和13

上圖所示的七個泰勒級數具有以下代數形式:

sinc(x)函數的泰勒展開為:

我們可以把上述等式看作是無限次數的“多項式”。這種多項式有無窮多個根。

比較兩個結果

就得到了我們想要的結果:

另外，歐拉利用上述推導原理給出了著名的沃利斯公式。只要把x = 1/2代入方程sinc(πx)就得到

沃利斯的公式是對巴塞爾問題證明的一種延伸