期中考試——完全平方公式的綜合運算
在一次數學活動課上,張老師準備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片,其中甲種是邊長為x的正方形,乙種紙片是邊長為y的正方形,丙種紙片是長為y,寬為x的長方形，並用甲種紙片一張,乙種紙片一張,丙種紙片兩張拼了如圖2所示的大正方形。
②利用①中的等式解決問題:若x+y=8,x2+y2=40,則xy的值為。
[拓展探究]
若x滿足(20-x)(x-30)=10,求(20-x)2+(x-30)2的值
我們可以作如下解答:
設a=20-x,b=x-30,則(20-x)(x-30)=ab=10，a+b=(20-x)+(x-30)=20-30=-10,
所以(20-x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=(-10)2-2×10=80
(2)①若(4-x)x=5,則(4-x)2+x2=；
②若(4-x)(5-x)=8,則(4-x)2+(5-x)2=，
[實際運用]
(3)如圖3,將正方形EFGH疊放在正方形ABCD上,重疊部分LFKD是一個長方形,AL=8,CK=12.沿着LD、KD所在直線將正方形EFGH分割成四個部分,若四邊形ELDN和四邊形DKGM恰好為正方形,且它們的面積之和為400,求長方形DMH的面積
(1) ①用兩種不同方式表示陰影部分的面積：直接法：x2+y2；間接法：(x+y)2-2xy；
即x2+y2=(x+y)2-2xy。
②利用①中的等式x2+y2=(x+y)2-2xy，已知x+y=8,x2+y2=40，求xy的值。
因為x2+y2=(x+y)2-2xy，所以40=82-2xy，解得xy=12
[拓展探究]
若x滿足(20-x)(x-30)=10,求(20-x)2+(x-30)2的值
將等式x2+y2=(x+y)2-2xy中單項式x、y變成多項式(20-x)、(x-30)，再使用換元法將多項式(20-x)、(x-30)換成單項式a、b，即設a=20-x,b=x-30,
則(20-x)(x-30)=ab=10，a+b=(20-x)+(x-30)=20-30=-10,
所以(20-x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=(-10)2-2×10=80
同理：①若(4-x)x=5,則(4-x)2+x2=；
換元法：
設(4-x)=m，則(4-x)x=mx=5,m+x=(4-x)+x=4,
所以(4-x)2+x2=m2+x2=(m+x)2-2mx=42-2×5=6;
進一步變化：
②若(4-x)(5-x)=8,則(4-x)2+(5-x)2=，
換元法：
設4-x=m、5-x=n，則(4-x)(5-x)=mn=8
觀察a+b=(20-x)+(x-30)=20-30=-10,m+x=(4-x)+x=4，發現兩項相加消去了字母x，而本題中m+n=(4-x)+(5-x)=9-2x，未消去x，欲消去x則需要m-n=(4-x)-(5-x)=-1，
在使用(a-b)2=a2-2ab+b2的變形式a2+b2=(a-b)2+2ab運算。
即m2+n2=(m-n)2+2mn=(-1)2+2×8=17.
[實際運用]
設正方形ABCD的邊長為x，則正方形ELDN的邊長為(x-8)，正方形DKGM的邊長為(x-12)，長方形MHND的長為(x-8)，寬為(x-12)。
由題意可知：將題轉化為已知(x-8)2+(x-12)2=400，求(x-8)(x-12)的問題：
換元法設x-8=a，x-12=b，
(x-8)2+(x-12)2=a2+b2=400,a-b=(x-8)-(x-12)=4，
由a2+b2=(a-b)2+2ab得400=42+2ab，解得ab=192
即(x-8)(x-12)=192