吃透高考重難點，拿下高分，橢圓解題策略分析

橢圓這一塊知識一直是解析幾何的核心內容之一，更是高中數學學習的重點、難點，因此自然成為高考數學命題的熱點之一。

橢圓相關的高考題型一般比較新穎，包含各種各樣的解題方法,如平面向量與解析幾何的融合,提高了題目的綜合性,形成了題目多變，解法靈活的特點。

平面內到兩個定點F₁，F₂的距離之和等於常數(大於|F₁F₂|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點F₁，F₂間的距離叫做橢圓的焦距。

橢圓的定義中應注意常數大於|F₁F₂|。因為當平面內的動點與定點F₁，F₂的距離之和等於|F₁F₂|時，其動點軌跡就是線段F₁F₂；當平面內的動點與定點F₁，F₂的距離之和小於|F₁F₂|時，其軌跡不存在。

橢圓有關的高考試題分析，典型例題1：

在平面直角座標系中，直線√2x-y+m=0不過原點，且與橢圓y²/4+x²/2=1有兩個不同的公共點A，B．

（Ⅰ）求實數m取值所組成的集合M；

（Ⅱ）是否存在定點P使得任意的m∈M，都有直線PA，PB的傾斜角互補．若存在，求出所有定點P的座標；若不存在，請説明理由．

考點分析：

直線與橢圓的位置關係．

解題反思：

（1）由直線√2x-y+m=0不過原點，知m≠0，將√2x-y+m=0與y²/4+x²/2=1聯立，得：4x²+2√2mx+m²-4=0，由此利用根的判別式，能求出實數m的範圍組成的集合M．

（2）假設存在定點P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直線PA，PB的傾斜角互補，則kPA+kPB=0，令A（x₁，√2x₁+m），B（x₂，√2x₂+m），得：2√2x₁x₂+（m-√2x0-y0）（x₁+x₂）2x0（y0-m）=0，由此利用韋達定理能求出所有定點P的座標．

橢圓有關的高考試題分析，典型例題2：

已知橢圓C₁：y²/a²+x²/b²=1（a＞b＞0）的頂點到直線l：y=x的距離分別為√6/2，√2/2．

（1）求橢圓C1的離心率；

（2）過圓O：x2+y2=4上任意一點P作橢圓C1的兩條切線PM和PN分別與圓交於點M，N，求△PMN面積的最大值．

考點分析：

橢圓的簡單性質．

題幹分析：

（1）根據點到直線的距離公式，即可求得a和b的值，即可求得橢圓的離心率；

（2）分類討論，當一條切線的斜率不存在時，Xp=±√3，yP=±1，即可求得△PMN面積，當切線的斜率存在時，設切線方程，代入橢圓方程，由△=0，由PM⊥PN，MN|=4.S△PMN=1/2|PM|·|PN|≤1/4（|PM|²+|PN|²）=1/4|MN|²=4，即可求得△PMN面積的最大值．

橢圓有關的高考試題分析，典型例題3：

過橢圓C： x²/2+y2=1的右焦點F的直線l交橢圓於A，B兩點，M是AB的中點．

（1）求動點M的軌跡方程；

（2）過點M且與直線l垂直的直線和座標軸分別交於D，E兩點，記△MDF的面積為S1，△ODE的面積為S2，試問：是否存在直線l，使得S1=S2？請説明理由．

考點分析：

直線與橢圓的位置關係；軌跡方程．

題幹分析：

（1）：（1）設點M的座標為（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2）；過橢圓C：x²/2+y2=1的右焦點F（1，0）的直線l為：y=k（x﹣1），聯立方程組，消去y，整理得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣1=0，求出動點M 座標，消去參數k，即可得到  動點M的軌跡方程

（2）假設存在直線AB，使得 S1=S2，確定G，D的座標，利用△GFD∽△OED，即可得到結論．