常數非常——不應忽視的常數列

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非零常數列身兼等差數列和等比數列兩大特性，但由於是由一系列的同一個常數構成，簡單明瞭，因此常常不被人們重視。事實上，把常數列的性質當作一種解題工具，則會大開眼界，妙趣橫生。在一些求數列通項的題目中若能適時地構造常數列，則可避免複雜的累加、累乘或迭代等過程，從而使求數列的通項公式一步到位。因此，在解決相關問題時，常有事半功倍之效果。

通過構造常數列求通項公式主要是利用性質2。

一

應用

常見的常數列

根據遞推關係從和、差、積、商的結構和角度歸納一下常見的常數列，如下所示：

小貼士

下面結合具體事例説明上述方法的使用，我們從中可以體會到，由於避免了用累加法和累乘法，表達上顯得特別簡潔和快捷。

二

引申

突破難點錯位相減法

眾所周知，錯位相減法是解決形如｛(an+b)x^n｝的數列求和問題的常規方法。藉助錯位相減法求解此類問題時，必然要用到等比數列的求和公式，通常還會遇到繁分式化簡、指數冪的運算等繁瑣運算，對學生的運算能力要求較高，因而學生出錯率高。下面將藉助待定係數法構造常數列來突破此難點。

上面是一般思路，下面用一個具體問題來體會如何用待定係數法變成常數列而解決求和問題：

事實上，在人教版A版教材數學必修5第二章《數列》中，處理求等差數列、等比數列的通項公式的方式並不嚴謹，用的是不完全歸納法，嚴格來説，還需要用數學歸納法證明，但必須是在學習選修教材2-2後才能證明。那麼如何在現有的認知基礎上，嚴格推導等差數列及等比數列的通項公式呢？利用常數列思想，即可簡潔的證明，證明如下：

三

拓展

尋找拆分之法

現舉例如下：

四

鞏固

試試下列遞推數列如何變常數列

提示

值得指出的是，在實際解題中，我們應該根據實際情況或自己熟悉的方法掌握程度，去選擇最佳方法：累加法、累乘法、變常數列。不能一味地追求變常數列，這樣可能反而降低了學習數學的效率。

通過上述研究過程可以表明，常數列本身確實非常簡單明瞭，但其中所藴含的數學思想方法——轉化與化歸的思想、方程思想、待定係數法等，對我們研究數列卻有極大的幫助。簡單不是錯，錯就錯在我們因為簡單而忽略了它，甚至置之不理！正如《道德經》所言：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，誠如斯言。