高考數學複習倒計時:如何用洛必達法則快速破解壓軸大題

  這篇文章面向的對象是高中生,將會講解什麼是洛必達法則。

  以及在最後,會講在高考題中怎麼繞開洛必達法則。

  現在在羣裏,高中生們問得最多的問題就是“洛必達怎麼用?”、“能不能用洛必達?”。

  這篇文章就要解決這個問題。

  一、什麼是洛必達法則

  洛必達法則(l'Hôpital's rule)是利用導數來計算具有不定型的極限的方法,簡單來説就是求一個分式的分子和分母都趨於零時的極限的法則。這個法則是瑞士數學家約翰·伯努利(Johann Bernoulli)所發現的。

  雖然是由伯努利所發現的,但是當時洛必達花錢將伯努利的這個發現買了下來,所以後人誤以為是他的發明,故「洛必達法則」之名沿用至今。

  與此同時,洛必達法則也被叫作伯努利法則(Bernoulli's rule)。

  好了閒話少説,我們來看具體的應用吧。

  洛必達法則的表示方法:

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  當不滿足三個前提條件時,就不能用洛必達法則,這時稱洛必達法則不適用,應從另外途徑求極限。

  (4)若條件符合,洛必達法則可連續多次使用,直到求出極限為止。

  也就是説,如果在高中階段,遇到了求解不定式問題的題目,那麼解決這類問題的有效方法就是洛必達法則.

  附錄知識點:鄰域。

  鄰域是無限小概念會用到的, 即可以無限地接近的一個範圍。強調的內容是可以無限小,是一個範圍。

  去心鄰域指的是鄰域內不包括某一個點 。

  舉個例來説,求0 的鄰域是可以包括 0在內 的。但是求 0 的去心鄰域是,是不包括 0 的在內的。

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  去心鄰域

  點a的δ鄰域去掉中心a後,稱為點a的去心δ鄰域。有時把開區間(a—δ, a)稱為a的左δ鄰域,把開區間(a, a δ)稱為a的右δ鄰域。

  二、例題詳解展示

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  注:分三種情況討論:

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  而用洛必達法則就很容易解決這個問題。

  下面用洛必達法則來求解:

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  所以,此時我們 注意到分界點在x=1上。

  由洛必達法則有:

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  關於洛必達法則的運用,我們來繼續看幾個題目的解題過程,通過分析這些題目的求解過程,記住這些題目的特點,就是當出現了“函數式無意義”的情況時,那麼這個時候我們比葫蘆畫瓢,那麼就很容易掌握這種方法。

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  通過以上例題的分析,我們很容易發現應用洛必達法則解決的試題應滿足:

  (1)可以分離變量;

  (2)用導數可以確定分離變量後,所得到的新函數的單調性;

  (3)出現“零比零(0/0)”型式子

  在解題的過程中,只要出現了上面的形式,那麼就可以直接用“洛必達法則”來求解問題。

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  三、洛必達法則的小應用

  舉幾個簡單的小例子,來説明一下在高中的題目裏,洛必達法則怎麼用。

  例1畫出函數的圖像。

  解答求導得,因此在遞減,在遞增。

  計算得,,接下來只需分析當時的取值。

  ,此時發現和都趨於無窮大,使用洛必達法則得:

  ,因此。

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  例2當時,不等式恆成立,求實數的取值範圍。

  解答分離參數得,令,其中。

  ,令,,因此在單調遞增,,因此,在單調遞增。

  要求恆成立,因此,但當時,,此即為型不定式。根據洛必達法則,有:

  ,因此,實數的取值範圍是。

  例3當時,不等式恆成立,求實數的取值範圍。

  解答,又,因此。

  當時,,實數的取值範圍是。

  甚至洛必達可以“洛”很多次,只要是不定式就可以“洛”,直到得到結果。

  例4求極限。

  解答當時,,使用洛必達法則得:

  ,此時依舊得到的是不定式。

  當時,,再次使用洛必達法則得:

  ,因此。

  三、洛必達能不能用?如何繞開洛必達法則?

  其實我反覆強調的是,高中數學沒有極限的定義,上面的過程是不嚴謹的。

  不同的省份改卷標準不一樣,有的地方可能會給分,有的地方可能會酌情扣分,而有的地方甚至會一分都不給。

  洛必達法則本來是個高等數學中非常有用的結論,但“洛必達”最後變成了一些高中生裝逼用的詞,遇到題目就“洛”,以為可以秒殺,但完全沒有顧及到嚴謹性。

  除此之外,許多高中生在不是不定式的情況下胡亂“洛”,最後得到一個完全錯誤的答案。結果這些人就開始到處問“為什麼這題不能洛必達?”、“洛必達是不是錯的?”。

  事實上,在做題的過程中,完全可以繞開洛必達法則,達到相同的效果。

  一般地説,在遇到恆成立問題時,將不等式進行分離後可以得到形如的形式,其中的臨界值是,且。那麼很多人就會用洛必達法則,來求出在處的極限。但這樣做有必要嗎?

  若,則,令,則原不等式等價於。我們嘗試分析構造出來的這個函數。

  當時,,一般地,要令我們只要讓在以前單調遞減,在之後單調遞增就行了。

  也即是的極小值點,令,可解得,這個就和我們用洛必達法則得到的結果一樣。

  但如果怎麼辦呢?可以再求一次導,再令,由此解得,就和多次應用洛必達法則一樣。

  由此看來,“洛必達法則”完全沒有必要出現在題目裏,要使用洛必達,其實等價於直接對構造出來的函數求多次導。

  在做解答題時,可以先用洛必達法則猜出答案,但是在寫過程的時候,還是要用分類討論的辦法,把討論的過程寫清楚。

  順便也提醒高中生,不要盲目尋求一些“秒殺”的辦法,最後反而弄巧成拙。

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