三角形角平分線的夾角分三種情況:內角平分線的夾角、內角平分線和外角平分線的夾角、外角平分線的夾角。
(1)內角平分線的夾角:∠D=90°+1/2∠BAC
已知:△ABC中,BD、CD分別為∠ABC和∠ACB的平分線.
求證:∠D=90°+1/2∠BAC.
證明:∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB(已知)
∴∠DBC=1/2∠ABC,∠DCB=1/2∠ACB(角平分線定義)
∴∠DBC+∠DCB=1/2(∠ABC+∠ACB)(等量代換)
∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)(三角形內角和定理)
=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)(等量代換)
=180°-1/2(180°-∠A)(三角形內角和定理)
=90°+1/2∠A(等式運算)
(2)內角平分線和外角平分線的夾角:∠E=1/2∠A
已知:∠ACD為△ABC的外角,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD.
求證:∠E=1/2∠A.
證明:∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD(已知)
∴∠EBC=1/2∠ABC,∠ECD=1/2∠ACD(角平分線定義)
∴∠E=∠ECD-∠EBC(三角形外角的性質)
=1/2(∠ACD-∠ABC)(等量代換)
=1/2∠A(三角形外角的性質)
(3)外角平分線的夾角:∠F=90°-1/2∠A
已知:AF、CF分別為△ABC的外角∠EAC、∠ACD的平分線.
求證:∠F=90°-1/2∠A
證明:∵∠EAC=∠B+∠ACB,∠ACD=∠B+∠BAC(三角形外角的性質)
∴∠EAC+∠ACD=∠B+∠ACB+∠B+∠BAC(等量代換)
=180°+∠B(三角形內角和定理)
∵AF平分∠EAC,CF平分∠ACD(已知)
∴∠FAC=1/2∠EAC,∠FCA=1/2∠ACD(角平分線定義)
∴∠F=180°-(∠FAC+∠FCA)(三角形內角和定理)
=180°-1/2(∠EAC+∠ACD)(等量代換)
=180°-1/2(180°+∠B)(等量代換)
=90°-1/2∠B(等式運算)
巧記內交=直角+半形
外交=直角-半形
雜交=半形
拓展以上三種圖是最常見的,事實上只要是角平分線所在直線的夾角都符合結論。