今年各地的中考題目普遍難度下降了一級。
廣州每年的幾何與函數壓軸題都挺不錯。不過考查的知識點和方法往往都是那幾類，比較容易被預測或者撞到。
今年仍然是以圓為背景的題目，利用旋轉或者對稱進行構造輔助線解決問題。
【中考真題】
（2020•廣州）如圖，⊙O為等邊△ABC的外接圓，半徑為2，點D在劣弧AB上運動（不與點A，B重合），連接DA，DB，DC．
（1）求證：DC是∠ADB的平分線；
（2）四邊形ADBC的面積S是線段DC的長x的函數嗎？如果是，求出函數解析式；如果不是，請説明理由；
（3）若點M，N分別在線段CA，CB上運動（不含端點），經過探究發現，點D運動到每一個確定的位置，△DMN的周長有最小值t，隨着點D的運動，t的值會發生變化，求所有t值中的最大值．
【分析】
題（1）主要是利用圓周角定理及其推論進行解答即可；
題（2）要求面積，由於四邊形直接求不好求，所以需要考慮進行轉化。
本題的關鍵條件就是等邊三角形。而且點D在三角形外部，所以這種圖形就是平時練習中超級常見的類型。只需要進行旋轉，或者説截長補短即可。
將△ADC繞點C逆時針旋轉60°，得到上圖。可以把四邊形的面積轉化為等邊三角形CDH的面積即可。
當然，如果把△BCD繞着點C順時針旋轉60°也是可以的。
題（3）是最短路徑問題，求三個動點組成的三角形周長最小。與人教版八年級上課本的課後作業題差不多。就是牧馬人先帶馬去吃草，再到河邊飲水，然後回到帳篷。通過對稱即可把三條線段化為兩點間的線段即可。
【答案】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴DC是∠ADB的平分線；
（2）四邊形ADBC的面積S是線段DC的長x的函數，
理由如下：
如圖1，將△ADC繞點逆時針旋轉60°，得到△BHC，
∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四邊形ACBD是圓內接四邊形，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∴∠DBC+∠HBC＝180°，
∴點D，點B，點H三點共線，
∵DC＝CH，∠CDH＝60°，
∴△DCH是等邊三角形，
∵四邊形ADBC的面積S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH=√3/4CD²，
∴S=√3/4x²；
（3）如圖2，作點D關於直線AC的對稱點E，作點D關於直線BC的對稱點F，
∵點D，點E關於直線AC對稱，
∴EM＝DM，
同理DN＝NF，
∵△DMN的周長＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，
∴當點E，點M，點N，點F四點共線時，△DMN的周長有最小值，
則連接EF，交AC於M，交BC於N，連接CE，CF，DE，DF，
∴△DMN的周長最小值為EF＝t，
∵點D，點E關於直線AC對稱，
∴CE＝CD，∠ACE＝∠ACD，
∵點D，點F關於直線BC對稱，
∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB，
∴CD＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB＝2∠ACB＝120°，
∵CP⊥EF，CE＝CF，∠ECF＝120°，
∴EP＝PF，∠CEP＝30°，
∴PC=1/2EC，PE=√3PC=√3/2EC，
∴EF＝2PE=√3EC=√3CD＝t，
∴當CD有最大值時，EF有最大值，即t有最大值，
∵CD為⊙O的弦，
∴CD為直徑時，CD有最大值4，
∴t的最大值為4√3．
【總結】
