2021年中考數學必考經典題型——二次函數中構造菱形

從農村小夥逆襲成雙985碩士畢業

【本科：山東大學】

【碩士：國fang科技大學】

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菱形存在性問題知識精講

一、關於菱形的基礎知識

1、什麼是菱形？

菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

2、菱形的性質

菱形具有平行四邊形的一切性質；

菱形的四條邊都相等；

菱形的兩條對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角；

菱形也是軸對稱圖像，有兩條對稱軸（對角線所在的直線）.

3、菱形的判定

有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

四條邊都相等的四邊形是菱形.

二、菱形存在性問題解題策略

若將菱形放入座標系中，則菱形四個點的座標需滿足：

一般情況下，我們解決菱形存在性問題有兩種思路：①先證平行四邊形，再證菱形；②先等腰，再菱形.

典例一、如圖，在座標系中，已知A（1，1）、B（5，4），點C在x軸上，在平面內任取一點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形.

【解答】見解析

【解析】思路1：設點C的座標為(m,0)，點D的座標為(p,q)，

①當AB為對角線時，即AB與CD互相平分，且AC＝BC，則

②當AC為對角線時，即AC與BD互相平分，且BA＝BC，則

③當AD為對角線時，則

思路2：先用等腰三角形存在性方法確定點C，再確定點D.

①當AB＝AC時，如圖所示：

②當BA＝BC時，如圖所示： ③當AC＝BC時，如圖所示： 鞏固練習（提優）

1． 如圖，平面直角座標系xOy中，點O為座標原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動．

（1）當四邊形PODB是平行四邊形時，求t的值；

（2）在線段PB上是否存在一點Q，使得四邊形ODQP為菱形？若存在，求處當四邊形ODQP為菱形時t的值，並求出Q點的座標；若不存在，請説明理由；

2．如圖，拋物線y＝ax2＋x＋c的圖象與x軸交於點A和點B（4，0），與y交於點C（0，4），連結AC，作直線BC，點M，N分別是y軸與直線BC上的動點．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）當點M在y軸負半軸時，若∠OMA＋∠OCA＝∠CBA，求CM的長；

（3）點P為拋物線上的一動點，當點P在y軸右側時，是否存在點P，使以點C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形，若存在，求CM的長；若不存在，請説明理由；

3．如圖，矩形OABC中，點A在x軸上，點C在y軸上，點B的座標是（6，8），矩形OABC沿直線BD摺疊，使得點C落在對角線OB上的點E處，摺痕與OC交於點D．

（1）求直線OB的解析式及線段OE的長；

（2）求直線BD的解析式及點E的座標；

（3）若點P是平面內任意一點，點M是直線BD上的一個動點，過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，在點M的運動過程中是否存在以P、N、E、O為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點M的座標；若不存在，請説明理由．

4． 如圖，已知拋物線交x軸於點A、點B，交y軸於點C，且點A（6，0），點C（0，4），AB＝5OB，設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位於第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形．

（1）求拋物線解析式及頂點座標；

（2）求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關係式，並寫出自變量x的取值範圍；

（3）當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？

第1題解析

第2題解析

第3題解析 第4題解析