等腰三角形的軸對稱性
三角形有對稱軸嗎?
在各種各樣的三角形中，有一些三角形具有很特殊的性質~
現在就快和包Sir一起來學習這些三角形。
小編亂入
知識會
知識點1 等腰三角形的性質【基礎】
1. 等腰三角形的軸對稱性
等腰三角形是軸對稱圖形.
頂角平分線所在的直線是它的對稱軸.
2. 等腰三角形的性質定理
(1)文字表述
等腰三角形的兩底角相等(簡寫成“等邊對等角”).
(2)數學語言
如圖，△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
如果相等的兩條邊在兩個三角形中，那麼這兩個角不一定相等.
(2)當三角形為等腰三角形時，才有“底角”這個概念；
(3)在等腰三角形中，頂角可以是銳角、直角或鈍角，但底角只能是銳角.
“等邊對等角”主要有兩方面的應用:
一是與三角形內角和定理結合起來求角;
二是由線段相等證明角相等.
3. 等腰三角形的性質定理
(1)文字表述
等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合(也稱“三線合一”)，它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸.
(2)數學語言
如圖，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，AD⊥BC；
∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC；
∵AB＝AC， AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BD＝CD．
(1)在等腰三角形性質定理的推論中，“三線”中只要有“一線”成立，則其餘“兩線”都成立.
(2)在等腰三角形的證明過程中，頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線是常用的輔助線，要注意結合題目條件新增.
(3)等腰三角形的性質定理及其推論是證明線段相等、角相等、垂直關係的重要依據.
有關等腰三角形的性質的一些結論
(1)等腰三角形兩腰上的中線相等，兩腰上的高相等，兩底角的平分線相等；
(2)等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等於一腰上的高；
(3)等腰三角形底邊上的高(或底邊上的中線或頂角的平分線)上任意一點到兩腰的距離相等；
(4)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角的度數等於頂角度數的一半.
示範例題
例題1.(填空題)已知等腰三角形底角為頂角的2倍，則等腰三角形的三個內角的度數分別是36°，72°，72°．
【答案】36°，72°，72°
【解析】設等腰三角形的頂角為x，則底角為2x，
則x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°.
所以等腰三角形的三個內角分別是36°，72°，72°．
例題2.(解析題)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊上的中點，DE，DF分別垂直AB，AC於點E，F，求證：DE＝DF．
【解析】證明：連線AD．
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵AD=AD,且DE⊥AB,DF⊥AC，
∴△ADE≌△ADF(AAS).
∴DE＝DF．
【總結】
在等腰三角形問題中，如果已知底邊中點，通常連線底邊中線，結合“三線合一”的性質來解決問題.
知識點2 等腰三角形的判定【基礎】
1. 定義法
有兩邊相等的三角形是等腰三角形.
2.判定定理
(1)文字表述
有兩個角相等的三角形是等腰三角形.(簡寫成“等角對等邊”)
(2)符號語言
如圖，在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.
示範例題
例題1.(解析題)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一點，作DE⊥BC於點E，ED的延長線交CA的延長線於點F，問：△ADF是等腰三角形嗎？為什麼？
【解析】△ADF是等腰三角形．
理由：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝∠FEC＝90°，
∴∠B＋∠BDE＝∠C＋∠F＝90°，∴∠BDE＝∠F.
又∵∠BDE＝∠ADF，
∴∠F＝∠ADF，∴△ADF是等腰三角形．
【點撥】
等腰三角形的判定通常與等腰三角形的性質進行綜合考查，一般在已知條件中出現垂直，通常利用“同角或等角的餘角相等”這一性質來證明角之間的相等關係．
知識點3 等邊三角形及其性質【基礎】
1. 定義
三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形.
2. 等邊三角形的性質
2-1 軸對稱性
等邊三角形是軸對稱圖形，並且有3條對稱軸.
2-2 性質定理
1. 文字表述
等邊三角形的各角都等於60°.
2.符號語言
如圖，在△ABC中，∵AB=BC=AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
(2)等邊三角形具有等腰三角形的所有性質，並且每一條邊上都有“三線合一”這個性質.
已知等邊三角形的邊長為a，則它的高為.
此結論適用於選擇填空的快速作答，而大題不能直接應用此公式.
示範例題
例題1.(解析題)等邊△ABC中，D，E分別在BC、AC上，且BD＝CE．求證：AD＝BE．
【解析】證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠ACB＝60°．
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，∴AD＝BE．
【點撥】
由等邊三角形的性質可以知道全等三角形的對應邊和對應角，利用“邊角邊”證明全等．
知識點4 等邊三角形的判定定理【基礎】
1. 定義法
三邊相等的三角形是等邊三角形.
2. 判定定理1
(1)文字表述
三個角都相等的三角形是等邊三角形.
(2)符號語言
在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形.
3.性質定理2
(1)文字表述
有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
(2)符號語言
在△ABC中，
∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，
∴△ABC 是等邊三角形.
注：其中的60°角可以是等腰三角形的頂角，也可以是底角.
示範例題
例題1.(解析題)如圖，△ABC是等邊三角形，點E、F、G分別在AB、BC、CA上，且AE＝BF＝CG．求證：△EFG是等邊三角形．
【解析】證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵AE＝BF＝CG，
∴AB－AE＝BC－BF＝AC－CG，即BE＝CF＝AG，
∴△AEG≌△BFE≌△CGF，
∴EG＝EF＝FG，
∴△EFG是等邊三角形．
【點撥】
等邊三角形的三種判定方法在解題時要靈活變通，在應用定義證明等邊三角形時，一定要寫明三邊相等．
知識點5 直角三角形斜邊上的中線的性質定理【基礎】
1.文字表述
直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半.
2.符號語言
如圖：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，D是斜邊AB的中點，則有
例題1.（單選題）[2020武漢期中]如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開．測得AB的長為1.6km，則M，C兩點間的距離為（）
故選C．
知識點6 含30°角的直角三角形的性質定理【基礎】
1. 文字表述
在直角三角形中，如果一個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半.
2.符號語言
在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB.
(1)若已知中出現30°或60°，通常考慮作出垂線，構造直角三角形.
(2)該性質定理是“含30°角的直角三角形”所特有的，一般的直角三角形或一般的含30°角的三角形沒有此性質.
示範例題
例題1.（單選題）[2020遼寧錦州北鎮期中]如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜邊AB上的高，若AD＝3cm，則斜邊AB的長為（）
B．6cm
C．9cm
D．12cm
【答案】D
【解析】∵CD是斜邊AB上的高，
∴∠ADC＝90°.
∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝30°，
∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝30°.
∵AD＝3cm，
∴AC＝2AD＝6(cm).
∴AB＝2AC＝12(cm).
故選D．
K重難
題型1 等腰三角形的性質定理的應用
例題1.(單選題)如圖，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，則∠B等於()
B.25°
C.35°
D.40°
【答案】B
【解析】∵△ABDC中，AC＝AD，∠DAC＝80°，
∵AD＝BD，∠ADC＝∠B＋∠BAD＝50°，
∴∠B＝∠BAD＝25°.
題型2 等腰三角形的判定定理的應用
例題1.（單選題）[2019湖北孝感孝昌縣期末]如圖，上午8時，一艘船從A處出發以15海里/小時的速度向正北航行，10時到達B處，從A、B兩點望燈塔C，測得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，則B處到燈塔C的距離為（）
A．15海里
B．20海里
C．30海里
D．以上均錯誤
【答案】C
【解析】根據題意得AB＝2×15＝30（海里），
∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°.
∴∠C＝∠NAC.
∴BC＝AB＝30(海里)．
即從海島B到燈塔C的距離是30海里．
故選C．
題型3 等腰三角形性質定理與判定定理的綜合應用
例題1.(填空題)如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分線交AB於E，D為垂足，連線EC.
(1)∠BEC=72°；
(2)若CE＝5，則BC=5．
【解析】(1)∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，
∴∠ECD＝∠A＝36°，
∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝36°＋36°＝72°.
(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°.
∵∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，
∴∠BEC＝∠B，
∴BC＝EC＝5.
題型4等邊三角形的性質的應用
例題1.(解析題)如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC於D，E是BC延長線上的一點，且∠CED＝30°.求證：BD＝DE.
【解析】證明:∵△ABC為等邊三角形，BD⊥AC，
∴∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝30°.
∵∠CED＝30°，∴∠DBE＝∠DEB，∴BD＝DE.
題型5 等邊三角形的判定
例題1.(填空題)如圖，AB＝AC＝8 cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，則BE＝4cm.
【解析】∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，A在BC的垂直平分線上，
∴BC＝AB＝8 (cm).
∵DB＝DC，
∴點D在BC的垂直平分線上，
題型6 等邊三角形的性質與判定的綜合
例題1.(填空題)如圖，已知O是等邊三角形ABC內一點，D是線段BO延長線上一點，且OD＝OA，∠AOB＝120°，那麼∠BDC＝60°．
【解析】∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝60°.
又∵OD＝OA，
∴△AOD為等邊三角形，∴AO＝AD，∠OAD＝60°，∠ADO＝60°.
∵∠BAO＋∠OAC＝∠OAC＋∠CAD＝60°，
∴∠BAO＝∠CAD.
在△BAO和△CAD中，
∴△BAO≌△CAD(SAS)，∴∠ADC＝∠AOB＝120°，
∴∠BDC＝∠ADC－∠ADO＝60°.
題型7 直角三角形斜邊上中線的性質
例題1.（單選題）[2019浙江湖州南潯區期末]如圖，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線，則下列結論不一定正確的是（）
【解析】在△ABC中，AD是BC邊上的中線，則BD＝CD＝ BC，故選項A、B、D不符合題意．
若∠BAC＝90°時，AD＝BC才成立，否則不成立．故選項C符合題意．
故選C．
題型8 含30°角的直角三角形的性質的應用
例題1.(解析題)如圖，△ABC是一個直角三角形，其中BC⊥AC，∠BAC＝30°，AB＝10 cm，CB1⊥AB，B1C1⊥AC，垂足分別是B1，C1，那麼B1C1的長是多少？
【答案】見解析
【解析】