此題是圓的綜合題,難度不大但很典型,圓周角性質是解題關鍵

各位家長和同學,大家好!今天,數學視窗(數學世界)開始給大家分析講解初中數學幾何題,這道題考查了垂徑定理,圓周角的性質,切線的判定,直角三角形的性質,以及平行線的性質等知識。下面,我們就一起來看這道例題吧!

例題:(初中數學綜合題)如圖,已知AB是⊙O的直徑,弦DE垂直半徑OA,C為垂足,DE=6,連線DB,∠B=30°,過點E作EM∥BD,交BA的延長線於點M.

(1)求⊙O的半徑;

(2)求證:EM是⊙O的切線;

(3)若弦DF與直徑AB相交於點P,當∠APD=45°時,求圖中陰影部分的面積.

此題是圓的綜合題,難度不大但很典型,圓周角性質是解題關鍵
分析:大家想要正確解答一道數學題,必須先將大體思路弄清楚。下面就簡單分析一下此題的思路:

(1)首先連線OE,由弦DE垂直半徑OA,根據垂徑定理可得出OA垂直平分弦DE,以及弧AD與弧AE相等,求得CE的長。再根據圓周角求出相關角度,進一步得到OC與OE的關係,然後根據直角三角形的性質,求得∠OEC=30°,透過勾股定理,即可求得⊙O的半徑;

(2)根據平行線的性質求出∠M,再根據直角三角形的性質得到∠MEO=90°,即可證得EM是⊙O的切線;

(3)由∠APD=45°,根據在等圓或同圓中,同弧或等弧所對的圓周角等於所對圓心角的一半,即可求得∠EOF的度數,然後根據S陰影=S扇形EOF-S△EOF,即可求得陰影部分的面積.

解答:(以下的過程可以部分調整,並且可能還有其他不同的解題方法)

(1)連結OE,(連半徑)

∵DE垂直OA,

∴CE=1/2DE=3,弧AD=弧AE,

∵∠B=30°,

(等弧所對的圓周角等於所對圓心角的一半,)

∴∠AOE=2∠B=60°,

∴∠CEO=30°,OC=1/2OE,

由勾股定理得

OC^2+CE^2=OE^2,

即(1/2OE)^2+9=OE^2,

∴OE=2√3,

即⊙O的半徑是2√3;

此題是圓的綜合題,難度不大但很典型,圓周角性質是解題關鍵
(2)∵EM∥BD,(平行線的性質)

∴∠M=∠B=30°,

∵∠M+∠AOE=30°+60°=90°,

∴∠OEM=90°,即OE⊥ME,

∴EM是⊙O的切線;

(3)連結OF,

∵∠APD=45°,OA⊥DE,

∴∠EDF=45°,(直角三角形的性質)

∴∠EOF=90°,

(同弧所對的圓周角等於所對圓心角的一半)

∵S陰影=S扇形EOF-S△EOF,

∴S陰影=1/4π(2√3)^2-1/2(2√3)^2

=3π-6,

即圖中陰影部分的面積是3π-6.

(完畢)

這道題是關於圓的綜合題,有一定難度,綜合性很強,考查了垂徑定理,切線的判定,直角三角形的性質,以及平行線的性質等知識。解題的關鍵是注意數形結合思想的應用,以及輔助線的作法。溫馨提示:朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法,歡迎大家給數學視窗留言或者參與討論。

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