等腰三角形的軸對稱性

等腰三角形的軸對稱性
三角形是軸對稱圖形嗎?

三角形有對稱軸嗎?

在各種各樣的三角形中,有一些三角形具有很特殊的性質~

現在就快和包Sir一起來學習這些三角形。

小編亂入

知識會

知識點1  等腰三角形的性質【基礎】

1. 等腰三角形的軸對稱性

等腰三角形是軸對稱圖形.

頂角平分線所在的直線是它的對稱軸.

2. 等腰三角形的性質定理

(1)文字表述

等腰三角形的兩底角相等(簡寫成“等邊對等角”).

(2)數學語言

如圖,△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.

等腰三角形的軸對稱性
(1)這個性質使用的前提條件:在同一個三角形中.

如果相等的兩條邊在兩個三角形中,那麼這兩個角不一定相等.

(2)當三角形為等腰三角形時,才有“底角”這個概念;

(3)在等腰三角形中,頂角可以是銳角、直角或鈍角,但底角只能是銳角.

“等邊對等角”主要有兩方面的應用:

一是與三角形內角和定理結合起來求角;

二是由線段相等證明角相等.

3. 等腰三角形的性質定理

(1)文字表述

等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合(也稱“三線合一”),它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸.

(2)數學語言

如圖,

∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴BD=CD,AD⊥BC;

∵AB=AC,BD=CD,∴AD平分∠BAC,AD⊥BC;

∵AB=AC, AD⊥BC,∴AD平分∠BAC,BD=CD.

等腰三角形的軸對稱性
利用“三線合一”的前提條件必須是等腰三角形,且必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角平分線才相互重合,若是一腰上的高與中線就不一定重合.

(1)在等腰三角形性質定理的推論中,“三線”中只要有“一線”成立,則其餘“兩線”都成立.

(2)在等腰三角形的證明過程中,頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線是常用的輔助線,要注意結合題目條件新增.

(3)等腰三角形的性質定理及其推論是證明線段相等、角相等、垂直關係的重要依據.

有關等腰三角形的性質的一些結論

(1)等腰三角形兩腰上的中線相等,兩腰上的高相等,兩底角的平分線相等;

(2)等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等於一腰上的高;

(3)等腰三角形底邊上的高(或底邊上的中線或頂角的平分線)上任意一點到兩腰的距離相等;

(4)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角的度數等於頂角度數的一半.

示範例題

例題1.(填空題)已知等腰三角形底角為頂角的2倍,則等腰三角形的三個內角的度數分別是36°,72°,72°.

【答案】36°,72°,72°

【解析】設等腰三角形的頂角為x,則底角為2x,

則x+2x+2x=180°,解得x=36°.

所以等腰三角形的三個內角分別是36°,72°,72°.

例題2.(解析題)如圖,在△ABC中,AB=AC,點D是BC邊上的中點,DE,DF分別垂直AB,AC於點E,F,求證:DE=DF.

等腰三角形的軸對稱性
【答案】見解析

【解析】證明:連線AD.

等腰三角形的軸對稱性
∵AB=AC,點D是BC邊上的中點,

∴∠BAD=∠CAD.

又∵AD=AD,且DE⊥AB,DF⊥AC,

∴△ADE≌△ADF(AAS).

∴DE=DF.

【總結】

在等腰三角形問題中,如果已知底邊中點,通常連線底邊中線,結合“三線合一”的性質來解決問題.

知識點2 等腰三角形的判定【基礎】

1. 定義法

有兩邊相等的三角形是等腰三角形.

2.判定定理

(1)文字表述

有兩個角相等的三角形是等腰三角形.(簡寫成“等角對等邊”)

(2)符號語言

如圖,在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC.

等腰三角形的軸對稱性
“等角對等邊”是證明兩條線段相等的常用方法,在證明時,往往透過計算三角形各角的度數或利用角的關係得到角相等,進而得到邊相等.

示範例題

例題1.(解析題)如圖,在△ABC中,AB=AC,D是AB上的一點,作DE⊥BC於點E,ED的延長線交CA的延長線於點F,問:△ADF是等腰三角形嗎?為什麼?

等腰三角形的軸對稱性
【答案】見解析

【解析】△ADF是等腰三角形.

理由:

∵AB=AC,

∴∠B=∠C.

∵DE⊥BC,

∴∠DEB=∠FEC=90°,

∴∠B+∠BDE=∠C+∠F=90°,∴∠BDE=∠F.

又∵∠BDE=∠ADF,

∴∠F=∠ADF,∴△ADF是等腰三角形.

【點撥】

等腰三角形的判定通常與等腰三角形的性質進行綜合考查,一般在已知條件中出現垂直,通常利用“同角或等角的餘角相等”這一性質來證明角之間的相等關係.

知識點3 等邊三角形及其性質【基礎】

1. 定義

三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形.

2. 等邊三角形的性質

2-1 軸對稱性

等邊三角形是軸對稱圖形,並且有3條對稱軸.

2-2 性質定理

1. 文字表述

等邊三角形的各角都等於60°.

2.符號語言

如圖,在△ABC中,∵AB=BC=AC,∴∠A=∠B=∠C=60°.

等腰三角形的軸對稱性
(1)等邊三角形是特殊的等腰三角形,等邊三角形一定是等腰三角形,但等腰三角形不一定是等邊三角形.

(2)等邊三角形具有等腰三角形的所有性質,並且每一條邊上都有“三線合一”這個性質.

已知等邊三角形的邊長為a,則它的高為.

此結論適用於選擇填空的快速作答,而大題不能直接應用此公式.

示範例題

例題1.(解析題)等邊△ABC中,D,E分別在BC、AC上,且BD=CE.求證:AD=BE.

等腰三角形的軸對稱性
【答案】見解析

【解析】證明:∵△ABC為等邊三角形,

∴AB=BC,∠ABD=∠ACB=60°.

又∵BD=CE,

∴△ABD≌△BCE,∴AD=BE.

【點撥】

由等邊三角形的性質可以知道全等三角形的對應邊和對應角,利用“邊角邊”證明全等.

知識點4 等邊三角形的判定定理【基礎】

1. 定義法

三邊相等的三角形是等邊三角形.

2. 判定定理1

(1)文字表述

三個角都相等的三角形是等邊三角形.

(2)符號語言

在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等邊三角形.

3.性質定理2

(1)文字表述

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

(2)符號語言

在△ABC中,

∵AB=AC,∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°),

∴△ABC 是等邊三角形.

注:其中的60°角可以是等腰三角形的頂角,也可以是底角.

示範例題

例題1.(解析題)如圖,△ABC是等邊三角形,點E、F、G分別在AB、BC、CA上,且AE=BF=CG.求證:△EFG是等邊三角形.

等腰三角形的軸對稱性
【答案】見解析

【解析】證明:∵△ABC是等邊三角形,

∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.

∵AE=BF=CG,

∴AB-AE=BC-BF=AC-CG,即BE=CF=AG,

∴△AEG≌△BFE≌△CGF,

∴EG=EF=FG,

∴△EFG是等邊三角形.

【點撥】

等邊三角形的三種判定方法在解題時要靈活變通,在應用定義證明等邊三角形時,一定要寫明三邊相等.

知識點5 直角三角形斜邊上的中線的性質定理【基礎】

1.文字表述

直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半.

2.符號語言

如圖:在Rt△ACB中,∠ACB=90°,D是斜邊AB的中點,則有

等腰三角形的軸對稱性
示範例題

例題1.(單選題)[2020武漢期中]如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點M與點C被湖隔開.測得AB的長為1.6km,則M,C兩點間的距離為()

等腰三角形的軸對稱性
【解析】由題意可知,△ABC中,∠ACB=90°,M是AB的中點,

故選C.

知識點6 含30°角的直角三角形的性質定理【基礎】

1. 文字表述

在直角三角形中,如果一個銳角等於30°,那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半.

2.符號語言

在Rt△ACB中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC=AB.

(1)若已知中出現30°或60°,通常考慮作出垂線,構造直角三角形.

(2)該性質定理是“含30°角的直角三角形”所特有的,一般的直角三角形或一般的含30°角的三角形沒有此性質.

示範例題

例題1.(單選題)[2020遼寧錦州北鎮期中]如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD是斜邊AB上的高,若AD=3cm,則斜邊AB的長為()

等腰三角形的軸對稱性
A.3cm

B.6cm

C.9cm

D.12cm

【答案】D

【解析】∵CD是斜邊AB上的高,

∴∠ADC=90°.

∵∠A=60°,∠ACB=90°,

∴∠B=180°﹣∠ACB﹣∠A=30°,

∠ACD=180°﹣∠ADC﹣∠A=30°.

∵AD=3cm,

∴AC=2AD=6(cm).

∴AB=2AC=12(cm).

故選D.

K重難

題型1 等腰三角形的性質定理的應用

例題1.(單選題)如圖,△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80°,則∠B等於()

等腰三角形的軸對稱性
A.20°

B.25°

C.35°

D.40°

【答案】B

【解析】∵△ABDC中,AC=AD,∠DAC=80°,

∵AD=BD,∠ADC=∠B+∠BAD=50°,

∴∠B=∠BAD=25°.

題型2  等腰三角形的判定定理的應用

例題1.(單選題)[2019湖北孝感孝昌縣期末]如圖,上午8時,一艘船從A處出發以15海里/小時的速度向正北航行,10時到達B處,從A、B兩點望燈塔C,測得∠NAC=42°,∠NBC=84°,則B處到燈塔C的距離為()

A.15海里

B.20海里

C.30海里

D.以上均錯誤

【答案】C

【解析】根據題意得AB=2×15=30(海里),

∵∠NAC=42°,∠NBC=84°,

∴∠C=∠NBC﹣∠NAC=42°.

∴∠C=∠NAC.

∴BC=AB=30(海里).

即從海島B到燈塔C的距離是30海里.

故選C.

題型3 等腰三角形性質定理與判定定理的綜合應用

例題1.(填空題)如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分線交AB於E,D為垂足,連線EC.

(1)∠BEC=72°;

(2)若CE=5,則BC=5.

等腰三角形的軸對稱性
【答案】(1)72° (2)5

【解析】(1)∵DE垂直平分AC,∴CE=AE,

∴∠ECD=∠A=36°,

∴∠BEC=∠A+∠ECD=36°+36°=72°.

(2)∵AB=AC,∠A=36°,

∴∠B=∠ACB=72°.

∵∠BEC=∠A+∠ECD=72°,

∴∠BEC=∠B,

∴BC=EC=5.

題型4等邊三角形的性質的應用

例題1.(解析題)如圖,△ABC是等邊三角形,BD⊥AC於D,E是BC延長線上的一點,且∠CED=30°.求證:BD=DE.

等腰三角形的軸對稱性
【答案】見解析

【解析】證明:∵△ABC為等邊三角形,BD⊥AC,

∴∠ABC=60°,BD平分∠ABC,∴∠DBC=30°.

∵∠CED=30°,∴∠DBE=∠DEB,∴BD=DE.

題型5 等邊三角形的判定

例題1.(填空題)如圖,AB=AC=8 cm,DB=DC,若∠ABC=60°,則BE=4cm.

等腰三角形的軸對稱性
【答案】4

【解析】∵AB=AC,∠ABC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,A在BC的垂直平分線上,

∴BC=AB=8 (cm).

∵DB=DC,

∴點D在BC的垂直平分線上,

題型6 等邊三角形的性質與判定的綜合

例題1.(填空題)如圖,已知O是等邊三角形ABC內一點,D是線段BO延長線上一點,且OD=OA,∠AOB=120°,那麼∠BDC=60°.

等腰三角形的軸對稱性
【答案】60°

【解析】∵△ABC為等邊三角形,

∴AB=AC,∠BAC=60°.

∵∠AOB=120°,

∴∠AOD=60°.

又∵OD=OA,

∴△AOD為等邊三角形,∴AO=AD,∠OAD=60°,∠ADO=60°.

∵∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°,

∴∠BAO=∠CAD.

在△BAO和△CAD中,

∴△BAO≌△CAD(SAS),∴∠ADC=∠AOB=120°,

∴∠BDC=∠ADC-∠ADO=60°.

題型7 直角三角形斜邊上中線的性質

例題1.(單選題)[2019浙江湖州南潯區期末]如圖,已知△ABC中,AD是BC邊上的中線,則下列結論不一定正確的是()

等腰三角形的軸對稱性
【答案】C

【解析】在△ABC中,AD是BC邊上的中線,則BD=CD=  BC,故選項A、B、D不符合題意.

若∠BAC=90°時,AD=BC才成立,否則不成立.故選項C符合題意.

故選C.

題型8 含30°角的直角三角形的性質的應用

例題1.(解析題)如圖,△ABC是一個直角三角形,其中BC⊥AC,∠BAC=30°,AB=10 cm,CB1⊥AB,B1C1⊥AC,垂足分別是B1,C1,那麼B1C1的長是多少?

【答案】見解析

【解析】

等腰三角形的軸對稱性
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