高中数学：关于推理与证明的知识点总结

一、高三数学推理与证明考点(限考)概要：

1、推理：

(1)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理。

①归纳推理：

定义：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

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特点：

*归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围；

*归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测性；

*归纳的前提是特殊的情况，因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上；

*归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上，提出带有规律性的结论。

步骤：

*对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；

*提出带有规律性的结论，即猜想；

*检验猜想。

②类比推理：

定义：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

特点：

*类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；

*类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；

*类比的结果是猜测性的不一定可靠，单它却有发现的功能。

步骤：

*找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

*用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

*检验猜想。

(2)演绎推理：

①定义：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

②演绎推理是由一般到特殊的推理；

③“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

大前提——已知的一般结论；

小前提——所研究的特殊情况；

结 论——根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

④“三段论”推理的依据，用集合的观点来理解：

若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。

(3)合情推理与演绎推理的区别与联系：

①归纳是由特殊到一般的推理；

②类比是由特殊到特殊的推理；

③演绎推理是由一般到特殊的推理.

④从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确。

⑤演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程；而数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理.

2、证明：

(1)直接证明：

①综合法：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法，其特点是：“由因导果”。

②分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法，其特点是：“执果索因”。

③数学归纳法：

ⅰ数学归纳法公理：

如果①当n取第一个值

(例如

等)时结论正确；

②假设当

时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确；

那么，命题对于从

开始的所有正整数n都成立。

说明：

*数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；

*数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据。

(2)间接证明(反证法、归谬法)：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

用反证法证明一个命题常采用以下步骤：

①假定命题的结论不成立；

②进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；

③由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；

④肯定原来命题的结论是正确的。