三角函式是基本初等函式之一，也是中學階段很重要的一部分內容。初中階段以直角三角形為基礎，認識和了解銳角三角函式，而高中則是廣義的三角函式，在平面直角座標系中定義三角函式，可以是任意角的三角函式。
三角函式有很多公式，如倍角正弦公式：sin2θ=2sinθcosθ。小編曾在初中範圍內推匯出該公式。本文先回顧以前幾種推導，由於極限在初中範圍，假設2θ是不超過的90°角，其實只要學了廣義的三角函式，我們的下面的推導可以打破直角的界限。
構造倍角，小編想到的是同弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半、等腰三角形三線合一以及菱形的對角線平分一組對角，下面一一推導：
同弧所對的圓心角是它所對的圓周角的二倍
假設圓的半徑是1，構造單位圓：若∠P=θ，過點P作一半徑為1的圓與∠P的兩邊分別交於點B、C，為構造直角三角形和二倍角2θ，作直徑AB，連線AC、OC、BC，過點C作CD⊥AB於點D，
則∠A=∠P=θ，∠COB=2θ，∠ACB=∠CDO=90°，
OA=OB=OC=1，
BC=AB●sinθ=2sinθ，CD=OC●sin2θ=sin2θ ;
根據 Rt∆ABC 的面積，我們易有：
AB●CD=AC●BC=2S△ABC，
即 2sin2θ=2sinθ×2cosθ，
故sin2θ=2sinθcosθ。證畢。
等腰三角形三線合一
構造等腰∆ABC，使AB=AC=1，∠BAC=2θ，過點A作AD⊥BC於點D，∠BAD=θ，過點B作BE⊥AC於點E，
則 BD=AB●sinθ=sinθ，
BC=2BD=2sinθ，AD=AB●cosθ=cosθ，
BE=AB●sin2θ=sin2θ ;
菱形的對角線平分一組對角
構造菱形ABCD，使其邊長為1，且∠BAC=2θ，作對角線AC、BD，過點D作DE⊥AB於點E；則AB=AD=1，∠BAO=θ；
從而 BO=AB●sinθ=sinθ，
AO=AB●cosθ=cosθ，
DE=AD●sin2θ=sin2θ ;
類似於上一種推導，由菱形的面積可得：
以上三種推導，是小編以前想到的，近來從直角三角形三角函式最初的意義重新推導，尋找某些特殊邊的幾何意義，從而得到下面的證明：
矩形對角線形成的等腰三角形和直角三角形
矩形ABCD中，CD=a，AD=b，AC=c，∠DAC=θ，過點D作DE⊥AC於點E；易得∆AOD是等腰三角形，∠ODA=∠DAC=θ，
則 ∠DOC=∠ODA+∠DAC=2θ；
關於這個推導，我們繼續嘗試是否可以繼續簡化，矩形在左下角的Rt∆ABC幾乎沒有這麼涉及，因此我們只需做出直角三角形以及直角三角形斜邊上的高以及中線，並根據斜邊上的中線等於斜邊的一半，問題可以迎刃而解！
或許透過下面這個圖形，
平面幾何或許比較簡單，但是一些基礎圖形中或許隱含了我們尚未發現的性質，或者透過一定的構造可以找出一些往後要學習的性質，可能這樣有時會很有趣。
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