勾股定理是初等幾何中最精彩、最著名和最有用的定理之一關於這個定理的起源有各種說法.
西方人認為應歸功於畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580-前500年），並將此定理稱為“畢達哥拉斯定理”，將其敘述為：“在任何直角三角形中，斜邊上的正方形等於兩個直角邊上的正方形之和."並把它列為數學史上第一個真正重要的定理，數學史上的里程碑。
據說畢氏為了表示感激，曾對神貢獻了一百頭牛，對此，古代詩人夏米梭寫了如下十四行的讚美詩：
是他一位病弱的人，
最早認識了永存的真理.
畢達哥拉斯定理，
它亙古及今，代代相繼.
感謝神靈的啟示，
你奉了豐盛的聖祭.
把一百頭活生生的公牛
趕進了聖光祥雲之巔.
自真諦出現之日，
從此，
公牛不斷地嘶叫.
嘶叫聲無損真理的光明，
面對著畢氏的出現，
公牛隻能閉目顫慄。
如在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和運用勾股定理，美國哥倫比亞大學圖書館內收藏著一塊編號為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數。
透過20世紀對於在美索不達米亞出土的模形文字泥版書進行的研究，人們發現早在畢達哥拉斯以前一千多年，古代巴比倫人就已經知道這個定理。
古埃及人在建築宏偉的金字塔和測量尼羅河氾濫後的土地時，也應用過勾股定理。 古埃及人對勾股定律的最大使用在於其精美的雕塑和繪畫作品中。
一座位於盧克索的貴族墓穴揭示了答案，這個貴族由於生前受法老賞識而有錢建造自己精美的墓穴，可法老一死，還未完工的墓穴被迫停止，於是，造墓工人留下的未完工痕跡就揭示了古埃及人如何作畫和雕塑。
這幅未完工的壁畫顯示，原來古埃及畫師在畫壁畫前都要先用紅線描繪長方形網格，所有的繪畫都在網格的基礎上完成，所以古埃及人的繪畫和雕塑尺寸極為準確和對稱。
在我國西漢或更早時期的天文歷算著作《周牌算經》，其中第一章記述了西周開國時期（約公元前1000年）商高對於周公姬旦的回答：“故折矩以為勾廣三、股修四、徑隅五。”即“勾三、股四、弦五”.還有系統總結我國先秦到西漢初年數學成就的著作《九章算術》“勾股”中，從第1題到第14題都是運用這個定理解決的實用問題.因此，我們又把這個定理稱為“勾股定理”或“商高定理”.
2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標取材於我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》。中國著名數學家華羅庚曾建議用用一幅反映勾股定理的數學形關係圖來作為與“外星人”交談的語言。由此可見它在人類文明史中的地位。
在印度的某些古代書籍中，也出現了這個定理其年代至少也可追溯到畢達哥拉斯時代。
1.勾股定理對角的推廣——餘弦定理
勾股定理之所以稱得上是初等幾何最精彩、最著名、最有用的定理之一，原因之一是它有各種推廣。
勾股定理推廣：在△ABC中，三邊長分別是a,b,c其中c是最長邊。
勾股定理是對直角三角形而言的，對任意三角形，則有如下定理：“在一個三角形中，與鈍角（銳角）相對的邊上的正方形，等於其他兩邊上的正方形之和，加上（減去）這兩邊中任意一邊與另一邊在它上面的投影之積的二倍."
用圖形和式子描述就是：
這就是著名的餘弦定理.它對解三角形有廣泛應用.也是勾股定理在角上的一個很好的推廣.
2.勾股定理對邊、角的聯合推廣
在古希臘時代，亞歷山大里亞的帕普斯（Pappus，大約公元前300年）在他的《數學彙編》（Mathematical Collection）一書的第4卷中給出了一個令人注目的關於勾股定理的推廣，內容是這樣敘述的：“設ABC是任意三角形，CADE和CBFG是在兩邊CA和CB卜側所畫的任何兩個平行四邊形，設DE和FG相交於點H，作AL和BM與HC平行且相等。這時，平行四邊形ABML的面積等於平行四邊形CADE和CBFG的面積之和."（圖1）
此定理的證明並不難.
因為CE∥AD，AL∥CH, 所以△ADU≌△CEH.
又UA=HC=AL從而有四邊形的面積
3.勾股定理向三維空間推廣
在空間中，假設有一個長方體，它的長、寬、高分別是a，b，c，體對角線的長度為d，那麼，有：
直角稜錐定理：如上圖所示，設頂角D所對的三角形的面積為d，與D相鄰的三個側面三角形的面積分別是a，b，c（分別與A，B，C相對），那麼，我們有下面公式成立：
即直角稜錐底面面積的平方等於三個側面面積的平方和。
這個定理的敘述是不是與勾股定理很類似，並且，這個公式是不是與勾股定理公式也很類似！
證明不難，如下圖所示，設AD=p，BC=q，CD=r。作DE⊥AC於E，連線BE，設BE=h。於是有
我們容易證明在一個直角三角形中，在斜邊上所畫的任何圖形的面積，等於在兩個直角邊上所畫的與其相似的圖形的面積之和.”
如果把此圖形佔據XOY平面，建立空間直角座標系OXYZ.以平面圖形視為底面，再做與此面平行的平面，在該平面上做與底完全相同的圖形，連結兩平面的輪廓線作為母線，於是便得三個柱體，由斜邊產生的柱體的體積，必等於由兩條直角邊產生的柱體的體積之和.由於兩平行平面間柱體（稜柱，圓柱或其他柱體）的體積等於底面積乘以高.不管是直柱體還是斜柱體，結論都是對的.這個推廣，是極其簡單的推廣.
下面有一個對帕普斯給出的對“勾股定理對邊、角的聯合推廣”的進一步的推廣，即三維推廣：
“如圖2所示，設D-ABC是一個任意四面體.ABD-EFG，BCD-HIJ和CAD-KLM是在D-ABC的三個面ABD，BCD和CAD的外側所作的任意三個三稜柱.設Q是平面EFG，，HIJ和KLM的交點，作三稜柱，ABC-NOP，使它的三個稜AN，BO和CP與QD平行且相等.這時，ABC-NOP的體積等於ABD-EFG，BCD-HIJ，CAD-KLM的體積之和."
本定理的證明與帕普斯關於“勾股定理對邊、角的聯合推廣”定理的證明類似，這裡不再熬述了，有興趣的讀者請自行寫下面再給出一個在三維空間的與勾股定理相類似的一個定理.這個定理稱為德加定理：“直角四面體的底面面積的平方，等於其他三個面的面積的平方之和.”所謂直角四面體，就是在四面體中，構成某一個三面角的三個平面角都是直角.習慣上就把這個三面角稱為四面體的直角，與這個直角相對的面，稱為直角四面體的底面.
該定理是德加（J.P.de Gua de Malves 1712-1785）於1783年向巴黎科學院提出的.其實，R.笛卡兒（Descartes，1596-1650）和與他同時代的J.福爾阿巴（Faulhabar，1580-1635）早已知道.該定理是坦索（Tinseau）於1774年向巴黎科學院提出的更一般的定理的一個特殊情況。
綜上，我們可以將關於勾股定理的推廣歸納為如圖4所示。